第十二章 动量定理和动量矩定理 |
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第十二章 动量定理和动量矩定理 本章研究的两个定理 动量定理——力系主矢量的运动效应反映; 动量矩定理——力系主矩的运动效应反映。 质点系质量的几何性质 质心质点系的质量中心,其位置有下式确定:
其投影式为 , , 刚体对轴的转动惯量定义:为刚体对轴的转动惯量或
影响的因素单位: 物理意义:描述刚体绕轴时惯性大小的度量。 的计算方法: 积分法例12.1已知:设均质细长杆为,质量为。求其对于过质心且与杆的轴线垂直的轴的转动惯量。
解:建立如图12.2所示坐标,取微段其质量为,则此杆对轴的转动惯量为: 例12.2已知:如图12.3所示设均质细圆环的半径为,质量为,求其对于垂直于圆环平面且过中心的轴的转动惯量。
解:将圆环沿圆周分为许多微段,设每段的质量为,由于这些微段到中心轴的距离都等于半径,所以圆环对于中心轴的转动惯量为:
例12.3已知:如图12.4所示,设均质薄圆板的半径为,质量为,求对于垂直于板面且过中心的轴的转动惯量。
解:将圆板分成无数同心的细圆环,任一圆环的半径为,宽度为,质量为,由上题知,此圆环对轴的转动惯量为,于是,整个圆板对于轴的转动惯量为: 回转半径(惯性半径) 设刚体对轴的转动惯量为,质量为,则由式定义的长度,称为刚体对轴的回转半径。 例如:均质杆(图12.2) 均质圆环(图12.3) 均质薄圆板(图12.4)
若已知刚体对轴的回转半径,则刚体对轴的转动惯量为: 转动惯量的平行轴定理
在图12.5中,,轴间距离为,刚体质量为,其中轴过质心,则有
例如:在图12.2中,细长杆对轴的转动惯量为 组合体 例12.4 已知:钟摆可简化为如图12.6所示。设均质杆和均质圆盘的质量分别为和,杆长为,圆盘直径为,求钟摆对通过悬挂点的水平轴的转动惯量。
解:钟摆对水平轴的转动惯量为: 其中: 所以 动量定理 动量的概念与计算质点的动量为 质点系的动量系为
质点系的动量(动量系的主矢量)为 将质心公式对时间求一阶导数,有即 于是 动量定理1)质点的动量定理 设质点质量为,速度为,作用力为,由牛顿第二定律,有 变换为 ——质点的动量定理的微分形式 (为元冲量) 将上式对时间积分有 冲量 ——质点的动量定理的积分形式 2)质点系的动量定理 设质点系由个质点组成,其中第个质点的质量为,速度为,所受外力为,内力为(图12.7) (1)由牛顿第二定律 将上式由到求和,有
, (Ⅰ) 由 , 质心运动定理: (Ⅱ) 质心运动定理反映了质心的重要力学特征:质点系的质心的运动只取决于质点系的外力,内力改变不了质心的运动。这个定理在理论上和实际中都具有重要的意义。 在求解刚体系统动力学问题时,为了应用方便,常将上式改写为 (Ⅲ) 式中 、分别是刚体系统中第个刚体的质量和质心加速度。是由质心公式对时间求二阶导数后得到的,即 积分形式由式(Ⅰ)可得到积分形式 动量守恒(质心守恒)若 则常矢量 或常矢量 若 则常量 或常量 若则常量 (质心守恒) 实例分析 实例1利用质心运动定理解释定向爆破
实例2利用质心运动定理分析汽车的起动与刹车
例12.5已知:如图12.11所示的电动机用螺栓固定在刚性基础上,设其外壳和定子的总质量为,质心位于转子转轴的中心;转子质量为, 由于制造或安装是的偏差,转子质心不在转轴中心上,偏心距。转子以等角速度转动,试求电动机机座的约束力。
解: 研究对象:电动机整体 分析受力(如图示)分析运动:定子不动;转子作匀速圆周运动,其法线加速度 列动力学方程求解:
由此解出: 讨论 机座的约束力由两部分组成,一部分由重力(主动力)引起的,称为静约束力(静反力),另一部分是由于转子质心运动状态变化引起的,称为附加动约束力。 附加动约束力有最大值或最小值: 时, 时, 时, 时, 附加动约束力与成正比,当转子的转速很高时,其数值可以达到静约束力的几倍,甚至几十倍,而且这种约束力是周期性变化的,必然引起机座和基础的振动,还会引起有关构件内的交变应力。 利用动量定理能否求约束力偶矩?本例也可以选用质心运动定理求解。 在图12.10中,因为定子不动,故是惯性参考系中,写出系统的质心坐标公式: 将上两式对时间求二阶导数,可得:
由质心运动定理:
可得
例12.6 在上例中(例12.5),若电动机机座与基础之间无螺栓固定,且为光滑接触(图12.12),初始时电动机静止。求转子以等角速度转动时电机外壳的运动,并分析电机跳起的条件。
解:1)求电机外壳的运动 研究电机整体 由图示受力分析知 又因为故常量
时,由图12.11 时,由图12.11 因为 解得: 说明电机沿水平方向作简谐振动,振幅为 2) 电机未跳起时,仍可用上例所求结果,即 令,求的电机的角速度为: 讨论:当,即时,转子质心在最高处,可求得使电机跳起的最小角速度为: 例12.7已知:如图12.13表示水流流经变截面弯管的示意图。设流体是不可压缩的理想流体,而且流动是定常的。求流体对管壁的作用力。
解:1)研究对象:取管中截面和截面之间的流体为研究的质点系 2)受力分析:如图所示
设流体密度为,流量为,(流体在单位时间内流过截面的体积流量,定常流动时,是常量)在时间内,流过截面的质量为,其动量改变量为
即 由 得 令 其中为管子对流体的静约束力,由下式确定
则有 为流体流动时,管子对流体的附加动约束力。可见,当流体流速很高或管子截面积很大时,流体对管子的附加动压力很大,在管子的弯头处必须安装支座(图12.14)
三 动量矩的概念及其计算 质点的动量矩
设质点的质量为,某瞬时的速度为,到点的矢径为(图12.15) 质点对点的动量矩为 质点对轴的动量矩为
质点对点和轴(该轴通过点)的动量矩关系为 质点系的动量矩
设质点系由个质点组成,其中第个质点的质量为,速度为,到点的矢径为,则质点系对点的动量矩(动量系对点的主矩)为: 质点对轴的动量矩为 动量矩的解析式为 刚体动量矩的计算 刚体平动(图12.17)
定轴转动刚体对转轴的动量矩(图12.18)
3)平面运动刚体对其平面内一点的动量矩(图12.19)
例12.8已知:质量为,的两物块分别系在两柔软不可伸长的绳子上,图12.20所示,此两绳分别绕在半径为和并固结在一起的鼓轮上,设鼓轮的质量为,对转轴的回转半径为,并以转动。求系统对鼓轮转轴的动量矩。
解: 分析运动: 计算例12.9图12.21所示椭圆规尺,质量为,曲柄质量为,滑块和的质量为,设曲柄和均为均质杆,且,曲柄以转动,求:此椭圆规尺机构对转轴的动量矩。
解: 分析运动:规尺作平面运动 计算物块速度均通过转轴 ,对的动量矩为,杆定轴转动,对轴的动量矩为 心为定点的动量矩定理引言:求均质轮在外力偶的作用下,绕质心轴的角加速度 质点对固定点的动量矩定理图12.22牛顿第二定律: 上式两边左叉矢径 左边 是固定点时,于是有 ——质点对固定点的动量矩定理 质点系对固定点的动量矩定理设质点系由个质点组成,其中第个质点的质量为,速度为,对固定点的矢径为,作用在该质点上的外力为,内力为。 第个质点对固定点的动量矩定理为 将上式从到求和 由图12.23知 右边 左边 可得 质点系对固定点的动量矩定理 动量矩守恒若,常矢量 若 则常量 例12.10分析受有心力作用的物体的运动 解:如图12.24所示,因为 故常矢量,可见质点在有心力作用下运动的轨迹是平面曲线。 例12.11 如图12.25所示,在调速器中,除小球外,各杆重量可不计,忽略摩擦,系统绕轴自由转动。初始时,系统的角速度为,当细绳拉断时。求各杆与铅直线成角时系统的角速度。 解:研究整体:因重力和轴承力对于转轴的矩为零,即 故常量 时 时 由 得 例12.12已知:不可伸长的绳子绕过不计质量的定滑轮,绳的一端悬挂物块,另一端有一个与物块重量相等的人,从静止开始沿绳子上爬,设其相对绳子的速度为,试问:物是否动?并分析绳子的速度。 解:研究整体系统:因为,故常量 设轮顺时针转,绳子的速度为 则 由 即 得 物上升的速度为 人向上的速度为 人、物向上的绝对速度大小相等,方向相同,人物同时到达顶端。 五.刚体定轴转动微分方程 设刚体在主动力系作用下,绕固定轴转动(图12.27),设刚体对轴的转动惯量为,瞬时的角速度为,刚体对转轴的动量矩为,由质点系对固定轴的动量矩定理 可得 刚体的定轴转动微分方程 例12.13 已知复摆由绕水平轴转动的刚体构成,已知复摆的重量为,重心到转轴的距离为,如图12.28所示,设复摆对转轴的转动惯量为。求复摆微摆动的周期。 解: 研究对象:复摆 分析受力:如图12.28所示 分析运动:复摆作定轴转动,用表示其转角 列动力学方程,求解:
由题意,复摆微摆动时,于是有 这是简谐运动的标准微分方程,此方程的解为: 式中称为角振幅,为初相位他们由初始条件确定 摆动周期为 讨论 若测出周期T,可求出刚体对转轴的转动惯量如果要求轴承O的约束力
求,积分求 求轴承的约束力 刚体定轴转动微分方程组 例12.14 已知:电动机将不变转矩M加在轴上(图12.29)轴通过节圆半径为的外啮合齿轮传动给轴Ⅱ。轴Ⅱ与提升重物的鼓轮固结为一体,鼓轮半径为R,轴Ⅰ连同其上零件对轴的转动惯量为,轴Ⅱ连同其上零件对轴的转动惯量为,且各自重心分别在转轴上。重物的质量为,不计摩擦。求:重物A的加速度。 解: 研究轴Ⅰ(图12.29)(1) 研究轴物(图12.29)
(2) 运动学关系(3) (4) 由方程(1)、(2)、(3)、(4),解得: 矩心为质心的动量矩定理 质点系对于定点"O"和质心"C"的动量矩之间的关系 如图12.30所示,O为定点,C为质点系的质心,质点系对于定点O的动量矩为
对于任一质点,由图可见
于是 式中, 质点系对于质心的绝对动量矩
图12.30中为随质心平动的参考系,设点相对该坐标系的速度为,有 式中质点系对于质心的相对动量矩 有 代入式,有 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于固定点的动量矩定理 左边 右边 由于 所以 矩心为质心的动量矩定理 若 则 常矢量 矩心为质心的动量矩守恒 试分析跳水运动的腾空动作(图12.31) 刚体的平面运动微分方程 设刚体具有质量对称平面,作用在刚体上的力系可以简化为在此平面内的力系,如图12.31所示。以为基点建立平动坐标系,则刚体相对于此质心的动量矩为 刚体平面运动岁质心平动相对质心转动 随质心平动 相对质心转动 刚体平面运动微分方程: 例12.15 已知:质量为半径为的均质圆轮放在倾角为的斜面上,由静止开始运动。设轮沿斜面作纯滚动。求:(1)轮心的加速度,(2)轮沿斜面不打滑的条件。 解: 研究对象:轮 分析受力:如图12.33所示 分析运动:轮作平面运动,轮心沿斜面作直线运动 列动力学方程求解:轮纯滚动 联立解得: 纯滚动的条件: 讨论:若,由式 得,常量 轮平动若,则轮沿斜面打滑,此时 由方程 可求得 例12.16 已知:均质细杆质量,长度,端用两条细绳悬挂,三者个夹角,如图12.34所示。求:剪断绳时,杆的角加速度及绳的拉力。 解: 研究对象:杆 分析受力:如图12.34所示 分析运动:剪断绳时,杆作平面运动。质心作平面曲线,轨迹未知。 列动力学方程,求解:以上三个式中有个未知量,补充一个运动学关系 以上四式联立,解得: 代入数据,得: 例12.17 已知:质量为半径为的均质圆轮,可以在半径为的圆弧轨道中作纯滚动(如图12.34所示),时圆轮由静止释放。求:(1)接触处的摩擦力和正压力 (2)微运动的周期与运动规律 解: 1.研究对象:圆轮 2.分析受力:如图12.35所示 3.分析运动:轮作平面运动,轮心沿作圆周运动 4.列动力学方程,求解: 求 微运动时由式 令 解得 所以 周期 |
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