1.试举例说明分析法和综合法。

答：例⑴：设a>0,b>0,ab,证明a

b

2用分析法解：为了证明a

b2成立，要证明下面不等式成立：

由于a>0,b>0,即要证( a+b)*(a+b)>4ab成立

a*a+2ab+b*b>4ab

两边减去4ab,得a*a-2ab+b*b>0

左边写成(a-b)^2>0成立

由此倒推，即可证明

a

b

2⑵：例1 已知：如图1，在△ABC中，AC=+1，AB=2，∠A=30°，D为AB上一动点（不与A、B点重合）。过D、B、C三点作⊙O与AC交于E。（1）设AD=x，y=DE2+DB2。求y与x的函数关系

用综合法求解：

①找解题途径。由条件AB=2，AD=x，可得DB=2-x。因为y=DE2+DB2，所以只需求出DE，由图形中DE的位置可推断证△ADE∽△ABC方可求出DE。②求BC。在DE和BC中主要是求DE，因此只有先求出BC。因为∠A=30°，从Rt△和解Rt△的有关性质知显然应造直角（即作辅助线），从而过B或C作垂线，得Rt△AEB或Rt△BHC，求得BF=1，AF=，FC=1，BC=。

式，并求自变量x的取值范围。

③求DE并得出结论。解略。答：y=(3-)x2-4x+4(0＜x＜2)。

2.在中学数学中找出几个用反证法或者同一法或者数学归纳法来证明命题的例子。并通过这些例子说明生么是反证法？什么是同一法？什么是数学归纳法？

答：反证法的例子：

⑴在同一平面内，两条直线a,b都和直线c垂直。求证：a与b平行。

证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”。

不妨设直线a,b的交点为M,a,b与c的交点分别为P,Q,

如图所示，则PMQ00.这样，MPQ的内角和PMQMPQPQM

PMQ9009001800

这与定理“三角形的内角和等于180

0所以，直线a与b不相交，即a与b平行。

⑵.证明：假设 是有理数，那么它就可以表示成两个整数

之比，

q

p,p0,且p,qq。

所以，2p2q2。---------①

故q2是偶数，q也必然为偶数。

不妨设q2k，代入①式，则有2p24k2，

即p22k2，

所以，p也为偶数。

p和q都是偶数，它们有公约数2，这与p,q互素相矛盾。

同一法：

如图，已知E是正方形ABCD内部一点，

∠ECD =∠EDC =15°，

求证：△ABE是等边三角形．

证明：

1)作出符合命题结论的图形。以AB为边向正方形内部作等边△ABE＇，

连CE＇、DE＇．

2)证明所作图形符合已知条件。∵△ABE＇是等边三角形

∴∠ABE＇= 60°

∵∠ABC = 90°

∴∠CBE＇=∠ABC -∠ABE＇= 30°

∵△ABE＇是等边三角形

∴AB =BE＇

∵AB =BC

∴BC = BE＇

∴△BCE＇是顶角为30°的等腰三角形

∴底角∠BCE＇=(18030)75

21∵∠BCD = 90°

∴∠DCE＇=∠BCD -∠BCE＇= 15°同理，∠CDE＇= 15°

3)根据唯一性，∵在△CDE和△CDE＇中，

CDECDE15

确定所作图形与已知图形重合。CDCD

DCEDCE15

∴△CDE≌△CDE＇

∴CE = CE＇

∵在△BCE和△BCE＇中，

CECE

BCEBCE75

BCBC∴△BCE≌△BCE＇

∴BE = BE＇

同理，AE = AE＇

∵在△ABE和△ABE＇中，AEAE

BEBE

ABAB

∴△ABE≌△ABE＇

∴E和E＇重合

4)断定原命题成立。∴△ABE是等边三角形

数学归纳法：

已知数列{an}满足a1=0，a2=1，当n∈N时，an+2=an+1+an．

求证：数列{an}的第4m+1项(m∈N)能被3整除．

分析：本题由an+1=an+1+an求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．

①当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除．

②当m=k时，a4k+1能被3整除，那么当n=k+1时，

a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+

3=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1

=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1

=3a4k+2+2a4k+1

由假设a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除．

因此，当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除．

由①、②可知，对一切自然数m∈N，数列{an}中的第4m+1项都能被3整除． 反证法是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。 同一法是在符合同一法则的前提下,代替证明原命题而证明它的逆命题成立的一种方法

数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外， 义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构

综合法和分析法

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2.2.1 综合法和分析法

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