密度函数指概率密度函数。 在数学中,连续型随机变量的概率密度函数(在不至于混淆时可以简称为密度函数)是一个描述这个随机变量的输出值,在某个确定的取值点附近的可能性的函数。

关系：

1、分布函数和密度函数的关系：已知连续型随机变量的密度函数，可以通过讨论及定积分的计算求出其分布函数。

2、当已知连续型随机变量的分布函数时，对其求导就可得到密度函数。分布函数是概率统计中重要的函数，正是通过它可用数学分析的方法来研究随机变量。分布函数是随机变量最重要的概率特征，分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律，并且决定随机变量的一切其他概率特征。

一、从数学上看，分布函数F(x)=P(X《x)，表示随机变量X的值小于x的概率。这个意义很容易理解。概率密度f(x)是F(x)在x处的关于x的一阶导数，即变化率。如果在某一x附近取非常小的一个邻域Δx，那么，随机变量X落在(x, x+Δx)内的概率约为f(x)Δx，即P(x《X《x+Δx)≈f(x)Δx。换句话说，概率密度f(x)是X落在x处“单位宽度”内的概率。“密度”一词可以由此理解。二、一元函数下.概率分布函数是概率密度函数的变上限积分,就是原函数.概率密度函数是概率分布函数的一阶导函数.多元函数下.联合分布函数是联合密度函数的重积分.联合密度函数是联合分布函数关于每个变量的偏导.三、概率密度只是针对连续性变量而言，而分布函数是对所有随机变量取值的概率的讨论，包括连续性和离散型；已知连续型随机变量的密度函数，可以通过讨论及定积分的计算求出其分布函数；当已知连续型随机变量的分布函数时，对其求导就可得到密度函数。对离散型随机变量而言，如果知道其概率分布（分布列），也可求出其分布函数；当然，当知道其分布函数时也可求出概率分布。

从数学上看，分布函数F(x)=P(X《x)，表示随机变量X的值小于x的概率。这个意义很容易理解。概率密度f(x)是F(x)在x处的关于x的一阶导数，即变化率。如果在某一x附近取非常小的一个邻域Δx，那么，随机变量X落在(x, x+Δx)内的概率约为f(x)Δx，即P(x《X《x+Δx)≈f(x)Δx。换句话说，概率密度f(x)是X落在x处“单位宽度”内的概率。“密 度”一词可以由此理解。

假设有一元随机变量X,如果X是连续随机变量，那么可以定义它的概率 密度函数(probability density function, PDF) f(x),有时成为密度函数。

我们用PDF在某一区间上的积分来刻画随机变量落在这个区间中的概率，即

如果X是离散型随机变量，那么可以定义它的 概率质量函数（probability mass function, PMF）pX(x)。概率质量函数 (Probability Mass Function，PMF)是离散随机变量在各特定取值上的概率。 即，它本身就是一个概率值**。

与连续型随机变量不同，这里的PMF其实就是高中所学的离散型随机变量的分布律，即

两张图一对比，你就会发现，如果用右图中的面积来表示概率，利用图形就能很清楚的看出，哪些取值的概率更大！所以，我们在表示连续型随机变量的概率时，用f(x)概率密度函数来表示，是非常好的！

但是，可能读者会有这样的问题：

Q：概率密度函数在某一点的值有什么意义？

A：比较容易理解的意义，某点的 概率密度函数 即为 概率在该点的变化率(或导数)。很容易误以为 该点概率密度值 为 概率值.

比如: 距离(概率)和速度(概率密度)的关系.

某一点的速度, 不能以为是某一点的距离

没意义,因为距离是从XX到XX的概念

所以, 概率也需要有个区间.

这个区间可以是x的邻域（可以无限趋近于0）。对x邻域内的f（x）进行积分，可以求得这个邻域的面积，就代表了这个邻域所代表这个事件发生的概率。

而不管X是什么类型（连续/离散/其他）的随机变量，都可以定义它的 累积分布函数（cumulative distribution function ,CDF） FX(x)，有时简称为 分布函数 。

，那么分布函数CDF(FX(x))就是密度函数PDF(fX(t))的积分，PDF就是CDF的导数。

对于离散型随机变量，其CDF是阶梯状的分段函数，比如举例中的掷硬币随机变量，它的CDF如下

正态分布是重要的概率分布。它的概率密度函数是：

随着参数μ和δ变化，概率分布也产生变化。

随机变量X的n阶 矩 是X的n次方的 期望值 ，即

对概率密度函数作 类似傅利叶变换 可得 特征函数 。

1,分布函数F(X)的一阶导数为概率密度函数：f(x) = dF(X)/dX 概率密度曲线下的无穷积分等于1,表示：P{|X|

概率密度只是针对连续性变量而言,而分布函数是对所有随机变量取值的概率的讨论,包括连续性和离散型； 已知连续型随机变量的密度函数,可以通过讨论及定积分的计算求出其分布函数；当已知连续型随机变量的分布函数时,对其求导就可得到密度函数. 对离散型随机变量而言,如果知道其概率分布（分布列）,也可求出其分布函数；当然,当知道其分布函数时也可求出概率分布.

概率密度和分布函数的区别是概念不同、描述对象不同、求解方式不同。

1、概念不同：概率指事件随机发生的机率，对于均匀分布函数，概率密度等于一段区间(事件的取值范围)的概率除以该段区间的长度，它的值是非负的，可以很大也可以很小；分布函数是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用数学分析的方法来研究随机变量。

分布函数是随机变量最重要的概率特征，分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律，并且决定随机变量的一切其他概率特征。

2、描述对象不同：概率密度只是针对连续性变量而言，而分布函数是对所有随机变量取值的概率的讨论，包括连续性和离散型。

3、求解方式不同：已知连续型随机变量的密度函数，可以通过讨论及定积分的计算求出其分布函数；当已知连续型随机变量的分布函数时，对其求导就可得到密度函数。

对离散型随机变量而言，如果知道其概率分布（分布列），也可求出其分布函数；当然，当知道其分布函数时也可求出概率分布。

扩展资料：

对于随机变量X的分布函数F（x），如果存在非负可积函数f(x)，使得对任意实数x,有

则X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度。

单纯的讲概率密度没有实际的意义，它必须有确定的有界区间为前提。可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。

所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。

在实际问题中，常常要研究一个随机变量ξ取值小于某一数值x的概率，这概率是x的函数，称这种函数为随机变量ξ的分布函数，简称分布函数，记作F(x)，即F(x)=P(ξ《x) (-∞《x《+∞)，由它并可以决定随机变量落入任何范围内的概率。

例如在桥梁和水坝的设计中，每年河流的最高水位ξ小于x米的概率是x的函数，这个函数就是最高水位ξ的分布函数。实际应用中常用的分布函数有正态分布函数、普阿松分布函数、二项分布函数等等。

由于随机变量X的取值 只取决于概率密度函数的积分，所以概率密度函数在个别点上的取值并不会影响随机变量的表现。

更准确来说，如果一个函数和X的概率密度函数取值不同的点只有有限个、可数无限个或者相对于整个实数轴来说测度为0（是一个零测集），那么这个函数也可以是X的概率密度函数。

连续型的随机变量取值在任意一点的概率都是0。作为推论，连续型随机变量在区间上取值的概率与这个区间是开区间还是闭区间无关。要注意的是，概率P{x=a}=0，但{X=a}并不是不可能事件。

参考资料来源：百度百科-概率密度

参考资料来源：百度百科-分布函数

简单理解就是：密度函数是分布函数的导数，分布函数的值表示概率，所以f（正无穷）=1密度函数表示分布函数的变化趋势不懂欢迎追问

　　两者的定义　　概率密度函数：用于直观地描述连续性随机变量（离散型的随机变量下该函数称为分布律），表示瞬时幅值落在某指定范围内的概率，因此是幅值的函数。连续样本空间情形下的概率称为概率密度，当试验次数无限增加，直方图趋近于光滑曲线，曲线下包围的面积表示概率，该曲线即这次试验样本的概率密度函数。　　分布函数：用于描述随机变量落在任一区间上的概率。如果将x看成数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数F(x)在x处的函数值就表示x落在区间(-∞上的概率。分布函数也称为概率累计函数。　　区别　　分布函数是概率密度函数从负无穷到正无穷上的积分；　　在坐标轴上，概率密度函数的函数值y表示落在x点上的概率为y；分布函数的函数值y则表示x落在区间(-∞上的概率。　　

（1）定义不同：

1，概率指事件随机发生的机率，对于均匀分布函数，概率密度等于一段区间(事件的取值范围)的概率除以该段区间的长度，它的值是非负的，可以很大也可以很小。

2，分布函数是随机变量最重要的概率特征，分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律，并且决定随机变量的一切其他概率特征。

（2）表示含义不同：

1，单纯的讲概率密度没有实际的意义，它必须有确定的有界区间为前提。可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。

2，设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F(x)=P{X≤x} 物质的双体分布函数示意图称为X的分布函数。

3，分布律就是具体分布在某范围内的概率。

（3）求值方法不同：

1，概率密度：把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，也就是说，求概率密度就是求概率密度所对应的面积就行了。

2，分布函数：直接利用公式计算即可，例如函数 F(x)=P{X≤x} ，将x的值代入题中所给定的公式直接可以计算出结果。

扩展资料

（1）概率密度性质

1，非负性

2，规范性

这两条基本性质可以用来判断一个函数是否为某一连续型随机变量的概率密度函数。

（2）概率密度函数

对于随机变量X的分布函数F（x），如果存在非负可积函数f(x)，使得对任意实数x,有

则X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度。

参考资料来源

百度百科-概率密度

百度百科-分布函数

1.连续型随机变量的 分布函数 F(x) ：随便举一个例子

性质：1.单调 不 减，一定为增函数

        2.处处右连续，有有限个间断点

        3.y=F(x) 有水平渐近线 y=0, y=1

分布函数最右边的概率值接近1，因为 时，几乎包含了所有的事件

例：求 1《= x 《= 3的概率

连续型：p(1《=x《=3) = F(x=3) - F(x=1)

离散型：p(x=1, 2, 3) = F(3) - F(1)

2.概率密度：    

f(x)在 上非负可积，f(x)称X的概率密度函数

面积即概率， 上面积等于1，即概率之和为1.

总结：1.分布函数 F(x)的导数是 概率密度 f(x)

        2.导数 f(x)的一直为正，说明 F(x)一直在上升，即概率之和一直在增大

        3.导数即原函数的变化率，这里 f(x)图像可以反映出原函数 F(x)概率之和增加的快慢程度

例题：更新中...