沿：在学习概率论时总会不小心把这三者之间的关系给搞混了，所以在这里写篇文章弄清楚。

本文以下面例子展开描述：

随机变量： Z=X+Y

分布函数： F_Z=F_X+F_Y

密度函数： f_Z=f_X+f_Y

相信很多刚学概率论的同学，会觉得上面的分布函数和密度函数就是随机变量Z的分布函数和密度函数，这就是反了概念混淆的错误了。

正确计算Z的分布函数应该是：先确定出X和Y的联合概率密度 f(x,y) 之后求双重积分

\begin{aligned} F_{z}(z) &=P\{Z \leqslant z\}=P\{X+Y \leqslant z\} =\iint_{g(x, y) \leqslant z} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \end{aligned}

这样计算出来的分布函数不一定等于 F_X+F_Y

对应的随机变量的密度函数，也不是上面所写的密度函数，Z密度函数的正确计算方法应该是： f_{z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x) d x 或 f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(z-y, y) d y

所以这一点要千万记清楚，这个在计算变量的数字特征时很关键，很多人在这里可能知道，但是在计算变量的数字特征时，就会犯这个错误，把对随机变量的数字特征计算公式挪用到分布函数和密度函数上

上面这两个运算规律都是只适用随机变量的关系式，千万不要看到 F_Z=F_X+F_Y 然后计算Z的期望就用 EZ=EX+EY 来计算，这样是错误的。

但是

就是说随机变量的关系和密度函数与分布函数的结构不一定是对称的，不可以等同起来。

但是有一个特殊的情况，这两者就可以对等起来，就是（X\sim N(\mu _1,\sigma _1^2) 、 Y\sim N(\mu _2,\sigma _2^2)）

\[若 F(x)=C_{1} \Phi\left(\frac{x-\mu_{1}}{\sigma_{1}}\right)+C_{2} \Phi\left(\frac{x-\mu_{2}}{\sigma_{2}}\right), C_{1}+C_{2}=1则 \]

\[ E X=C_{1} \mu_{1}+C_{2} \mu_{2} \]

这里要知道这是在分布为正态分布时才成立，不是对任意分布都成立的。

最后附上常用概率分布表

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