从本节开始，我们要单独讨论概率空间(X,\mathscr{F},P)上的性质，其中的一些性质在前面的测度论基础中已经有所涉及。讨论的主要内容包括但不限于测度空间(X,\mathscr{F},P)中的随机变量的分布，独立性，矩，特征函数的性质以及随机序列的收敛性，条件概率等。这些内容需要用到之前所讲的一些测度论中的知识。

我们在前面已经介绍了随机变量的概念。定义从(X,\mathscr{F})到(\mathbf{R}^n,\mathscr{B}^n_\mathbf{R})的可测映射称为n维随机变量；特别的，在概率空间(X,\mathscr{F},P)中，随机变量只取有限值。如果n=1，则称随机变量是1维的。可以看出，随机变量将空间(X,\mathscr{F})中的集合投射到Euclid空间上进行讨论。

在概率空间中，我们将随机变量\xi简记为r.v.\xi。现在我们需要诱导出随机变量的分布。首先要介绍的是分布函数的概念。

我们考虑n维Euclid空间(\mathbf{R}^n,\mathscr{B}^n_\mathbf{R})上的一个概率测度\mu，将其称为一个分布。取n维向量x=(x_1,\cdots,x_n)，则矩体

(-\infty,x]=(-\infty,x_1]\times\cdots\times(-\infty,x_n]

的测度可以使用函数F来表示，当我们把这个函数标准化之后，称这个函数维测度\mu对应的分布函数。对于更一般的矩体(a,b],a