信号与系统复习归纳(七):拉普拉斯变换+例题 |
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1 LT的定义1.1 LT的类型和定义式1.2 ILT1.3 可以进行LT的条件与收敛域概念
2 常见函数的LT2.1 阶跃函数2.2 指数函数2.3 单位冲激函数2.4 正弦函数2.5 衰减余弦函数和衰减正弦函数2.6 单位斜坡函数2.7 总结
3 LT的性质3.1 线性变换3.2 时域微分特性3.3 时域积分3.4 复频移特性3.5 时间变换运算3.6 时间函数与t相乘3.7 初值定理3.8 终值定理3.9 总结
参考文献
Laplace transform
变换的目的:让一种处理方式转换为另一种处理方式(最显然的影响是,乘法比卷积简单,或者系统特性更容易观察)。
对象:连续系统。变换前后:常系数微分方程-代数方程。
常系数微分方程是用来描述连续系统的,进行LT之后的代数方程也能起到这个作用,而且形式更简单。
1 LT的定义
1.1 LT的类型和定义式
(1)双边LT(下标带b) 其实是把FT的jw改成了s,而LT中的s=σ+jw,相当于FT定义在虚轴上,而LT定义在整个s平面,进行了拓展。上式代入s=σ+jw: 也可以认为双边LT是信号乘以指数函数之后,再进行FT。 (2)单边LT 把双边的拆开: 规定f(t)是因果的(t=0。 (2)时间变换运算 对时域平移进行推广: (3)利用时域平移特性求延时指数函数的LT 由 进行延时: 即 根据性质得到: (4)复杂延时函数的LT 对于 它的波形与(1)中不同,形状不移动,只是截的区域往右移了: 整理一下,凑出能用性质的形式: 然后利用性质得到 (5)分段线性函数的LT 对于下面这个函数 它的表达式是 每一项都符合延迟函数的特性,所以 即 一般来说,F(s)是多项式形式,这里出现了指数,能够反推系统是有延时环节的。 (6)时间变换的实例 3.6 时间函数与t相乘(1)例子 根据 有 (2)例子 3.7 初值定理用途:从F(s)直接求f(0+),而不需要先进行ILT 条件:s取正实数,f(t)在t>=0时必须是连续的,在有限时间内只能有有限个间断点。 这条性质可以用于线性系统分析。 3.8 终值定理条件:f(t)具有终值,且在t>=0时连续,在有限时间内只能有有限个间断点。注意:即使f(t)没有终值,按公式算也能得到一个有限值,但是是错的! 3.9 总结 参考文献[1]Charles L.Phillips,John M.Parr,Eve A.Riskin(2014).信号、系统和变换(陈从颜等).北京:机械工业出版社(2015.1). |
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