求函数的平均变化率

人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10. (1)求运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率； (2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率． 变量作差顺序不对应致误 已知曲线y＝－2x3＋2和这条曲线上的两个点P(1，0)、Q(2，－14)，求该曲线在PQ段的平均变化率． 【错因分析】　在函数的平均变化率的求法公式中，Δy必须对应于Δx，即若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)；若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)． 本题的错误之处在于变量作差顺序不对应． 【防范措施】　自变量x由x0变化到x1，相应的函数值由f(x0)变化到f(x1)，分别得到Δx＝x1－x0，Δy＝ f(x1)－f(x0)．求平均变化率问题时，必须搞清是如何变化的，以免把分子分母的作差顺序搞错． 1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx满足(　　) A．Δx＞0　　　　　　　　B．Δx＜0 C．Δx≠0 D．Δx＝0 【解析】　由平均变化率的定义知，Δx为改变量， ∴Δx≠0. 【答案】　C 2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为(　　) A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0) 【解析】　由平均变化率的定义知， Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． 【答案】　D 3．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图1－1－2所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________(按从大到小排列)． 【答案】　v3>v2>v1 4．已知函数f(x)＝x3＋a，分别求出该函数在下列区间上的平均变化率． (1)求1到1.1之间的平均变化率； (2)求2到2.1之间的平均变化率． 课后知能检测 点击图标进入… (教师用书独具) 【思路探究】　掌握平均速度的计算方法． 很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢，从数学的角度，如何描述这种现象呢？ * * 教学教法分析 课前自主导学 当堂双基达标 易错易误辨析 课后知能检测 课堂互动探究 教师备选资源 ●三维目标 1．知识与技能 (1)理解并掌握平均变化率的概念； (2)会求函数在指定区间上的平均变化率； (3)能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题． 2．过程与方法 (1)通过观察直观的图形，培养学生的观察能力及抽象概括能力； (2)引导学生体会特殊到一般，具体到抽象的思想方法． 3．情感、态度与价值观 (1)体会领悟不同曲线的变化率的区别； (2)通过合作交流，树立自信心，形成合作意识． ●重点难点 重点：在实际背景下，借助函数图象直观地理解平均变化率，得到平均变化率的公式． 难点：对生活现象中的变化情况作出相应的数学解释． 课标解读 1.通过实例了解函数平均变化率的意义. 2.掌握求函数f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率的方法与步骤．(重点、难点) 【问题导思】　 假设图1－1－1是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)． 函数的平均变化率 1．若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？ 【提示】　自变量x的改变量为x1－x0，记作Δx，函数值的改变量为y1－y0，记作Δy. 2．Δy的大小能否判断山坡陡峭程度？ 【提示】　不能． 3．怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？ 函数的平均变化率的定义 一般地，已知函数y＝f(x)，x0、x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0) 称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率． 已知函数f(x)＝3x＋1和g(x)＝2x2＋1，分别计算f(x)与g(x)在－3到－1之间和在1到1＋Δx之间的平均变化率． 【思路探究】　先求自变量的增量和函数值的增量，然后代入公式求解． 求函数的平均变化率 已知函数f(x)＝x2＋x，分别计算f(x)在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.5]，[1，1＋Δx]的平均变化率． 平均变化率的大小比较 2．比较平均变化率的方法步骤： (1)求出两不同点处的平均变化率． (2)作