Rosenbrock函数 |
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Rosenbrock函数
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定义
在数学最优化中，Rosenbrock函数是一个用来测试最优化算法性能的非凸函数，由Howard Harry Rosenbrock在1960年提出 。也称为Rosenbrock山谷或Rosenbrock香蕉函数，也简称为香蕉函数。 Rosenbrock函数的定义如下： f ( x , y ) = ( a − x ) 2 + b ( y − x 2 ) 2 . f(x,y) = (a-x)^2+b(y-x^2)^2. f(x,y)=(a−x)2+b(y−x2)2. Rosenbrock函数的每个等高线大致呈抛物线形，其全域最小值也位在抛物线形的山谷中（香蕉型山谷）。 3D图
   a=0   a∈(0,+∞)  
在 b∈(-∞，0)所对应的3D图中可以很清晰地看到抛物线形的山谷。全域最小值就在抛物线形的山谷中，但由于山谷内的值变化不大，要找到全域的最小值相当困难。其全域最小值位于 (x,y)=(1,1)点，数值为f(x,y)=0。有时第二项的系数不同，但不会影响全域最小值的位置。 牛顿迭代法求最小值编写一个算法来找到它的全局最小值及相应的最小解，并在3D图中标出。分析一下你的算法时空效率、给出运行时间。 import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt import time %matplotlib inline from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D class Rosenbrock(): def __init__(self): self.x1 = np.arange(-100, 100, 0.0001) self.x2 = np.arange(-100, 100, 0.0001) #self.x1, self.x2 = np.meshgrid(self.x1, self.x2) self.a = 1 self.b = 1 self.newton_times = 1000 self.answers = [] self.min_answer_z = [] # 准备数据 def data(self): z = np.square(self.a - self.x1) + self.b * np.square(self.x2 - np.square(self.x1)) #print(z.shape) return z # 随机牛顿 def snt(self,x1,x2,z,alpha): rand_init = np.random.randint(0,z.shape[0]) x1_init,x2_init,z_init = x1[rand_init],x2[rand_init],z[rand_init] x_0 =np.array([x1_init,x2_init]).reshape((-1,1)) #print(x_0) for i in range(self.newton_times): x_i = x_0 - np.matmul(np.linalg.inv(np.array([[12*x2_init**2-4*x2_init+2,-4*x1_init],[-4*x1_init,2]])),np.array([4*x1_init**3-4*x1_init*x2_init+2*x1_init-2,-2*x1_init**2+2*x2_init]).reshape((-1,1))) x_0 = x_i x1_init = x_0[0,0] x2_init = x_0[1,0] answer = x_0 return answer # 绘图 def plot_data(self,min_x1,min_x2,min_z): x1 = np.arange(-100, 100, 0.1) x2 = np.arange(-100, 100, 0.1) x1, x2 = np.meshgrid(x1, x2) a = 1 b = 1 z = np.square(a - x1) + b * np.square(x2 - np.square(x1)) fig4 = plt.figure() ax4 = plt.axes(projection='3d') ax4.plot_surface(x1, x2, z, alpha=0.3, cmap='winter') # 生成表面， alpha 用于控制透明度 ax4.contour(x1, x2, z, zdir='z', offset=-3, cmap="rainbow") # 生成z方向投影，投到x-y平面 ax4.contour(x1, x2, z, zdir='x', offset=-6, cmap="rainbow") # 生成x方向投影，投到y-z平面 ax4.contour(x1, x2, z, zdir='y', offset=6, cmap="rainbow") # 生成y方向投影，投到x-z平面 ax4.contourf(x1, x2, z, zdir='y', offset=6, cmap="rainbow") # 生成y方向投影填充，投到x-z平面，contourf()函数 ax4.scatter(min_x1,min_x2,min_z,c='r') # 设定显示范围 ax4.set_xlabel('X') ax4.set_ylabel('Y') ax4.set_zlabel('Z') plt.show() # 开始 def start(self): times = int(input("请输入需要随机优化的次数：")) alpha = float(input("请输入随机优化的步长")) z = self.data() start_time = time.time() for i in range(times): answer = self.snt(self.x1,self.x2,z,alpha) self.answers.append(answer) min_answer = np.array(self.answers) for i in range(times): self.min_answer_z.append((1-min_answer[i,0,0])**2+(min_answer[i,1,0]-min_answer[i,0,0]**2)**2) optimal_z = np.min(np.array(self.min_answer_z)) optimal_z_index = np.argmin(np.array(self.min_answer_z)) optimal_x1,optimal_x2 = min_answer[optimal_z_index,0,0],min_answer[optimal_z_index,1,0] end_time = time.time() running_time = end_time-start_time print("优化的时间:%.2f秒!" % running_time) self.plot_data(optimal_x1,optimal_x2,optimal_z) if __name__ == '__main__': snt = Rosenbrock() snt.start()运行结果 代码来源：萌弟 |
在上面这个图中的山谷可能看起来不是很明显，下面调整一下y的取值范围看看Rosenbrock函数在不同的a、b下的3D图。
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