曲率公式：

绕一段曲线做出内切圆。得到不同半径的圆

假设这些内切圆的半径是R

那么这段曲线的曲率和这些内切圆的半径成反比

我们用 1 R \frac{1}{R} R1​表示，R越大，曲率越小

曲率用希腊字母 κ \kappa κ表示，这样我们就得到了曲率的公式

κ = 1 R \kappa=\frac{1}{R} κ=R1​

表示这段曲线的函数为 S ⃗ \vec {S} S 对于任意输入的t（时间？），我们都可以用一个向量来描述它的位置，这些向量的坐标就构成了这段曲线 换一个思路，我们取曲线上输出点的且向量，这些切向量描述的则是方向变化的大小 把这些切向量定义成单位长度的向量， 那么我们就可以用向量的方向改变的快慢来描述曲率变化 放在同一个原点，变化的关系更直观

所以曲率的变化，用曲线的弧长的微小变化，引起的切向量T的变化率

ds弧长的微分

dT两个向量的变化

曲率 κ \kappa κ是一个标量，最后求得的dT/ds也应该是一个标量 d T d s \frac{dT}{ds} dsdT​代表着什么

定义函数 S ⃗ ( t ) \vec{S}(t) S (t)

它的图像是半径为R的圆

对 S ⃗ ( t ) \vec{S}(t) S (t)求导得到

S ′ ⃗ ( t ) \vec{S'}(t) S′ (t)的方向就是切线的方向，但我们还需要把它归一化为单位向量

向量的单位化，即保持向量的方向不变，将其长度变成单位向量的长度1

计算上用向量除以它自己的绝对值

计算绝对值先平方再开方

计算会得到两个分量的平方和再开方 提出R，而 s i n 2 + c o s 2 = 1 sin^2+cos^2=1 sin2+cos2=1 等式的结果是R 最终得到 上面关于圆的推导是一种特殊的容易理解的情况，再来看一般情况下的推导

函数 分母会变成 各个分量除以根号下面的部分 那么 推算过程如下：

曲率公式

继续分析这个公式

分子部分，其实是 S ⃗ ( t ) \vec{S}(t) S (t)的导数和二阶导数 S ′ ⃗ ( t ) \vec{S'}(t) S′ (t) 和 S ′ ′ ⃗ ( t ) \vec{S''}(t) S′′ (t)两个向量的叉积

对于二维向量 ，计算叉积就是对角相乘再相减

那么 S ′ ⃗ ( t ) \vec{S'}(t) S′ (t) 和 S ′ ′ ⃗ ( t ) \vec{S''}(t) S′′ (t)代表着什么

S ′ ⃗ ( t ) \vec{S'}(t) S′ (t) 表示原始向量（组成曲线的向量）的切向量 二阶导数表示着一节导数如何变化（注二阶导数有方向和大小，大小表示一阶导数的缩和放）

而他们的叉积，表示这两个向量合成的面积

继续探讨这个公式的几何意义

同样边长的长方形和平行四边形，长方形面积更大

叉积越大，一阶导数和二阶导数越接近垂直 而我们的曲率是一曲线的弧长的微分求导

而曲线的变化率与速度无关，即与一阶导数的大小无关

在不对一阶导数单位化的情况下，一阶导数向量的大小变化，二阶导数为了同样表现变化率大小也会变化

那他们的叉积也会变大为4倍

而用单位切向量表示曲率的时候

二阶导数也需要除以一阶导数变化造成的影响

而我们并没有单位化二阶导向量 因为我们是以弧长的微分求曲率，曲率的变化与此刻速度无关，即与一阶导向量的大小无关，只与方向有关，而二阶导的大小才真正反映曲率的变化率