函数显示输入与输出的关系。

就好像有输入和输出的机器。

输出和输入是有关联的。

"f(x) = ... " 是一贯的标准函数记法。 但是也有其他的方法去描述函数。

有很多方法去描述函数，但所有方法都有这三个主要部分：

三个部分是：

如果输入是 50，输出是多少？

这里我们不谈个别函数 …… …… 我们来看函数的一般概念。

首先，函数要有个名字。

最常见的名称是 "f"，但也可以用其他名字，例如 "g" …… 或甚至 "果酱"。

这里我们用 "f"：

我们说 "f x 等于 x 平方"

我们把函数的输入值放在函数名字后面的括号（）中间：

所以 f(x) 的意思是函数叫 "f"，而 "x" 是输入值

函数对输入值进行的运作：

f(x) = x2 显示函数 "f" 取输入值 "x" 的平方。

例子：f(x) = x2：

我们这样写： f(4) = 16。

"x" 只不过显示表输入值。

其实用什么符号来代表都可以！

所以这个函数：

f(x) = 1 - x + x2

和这些函数是一样的：

自变量（x、q、A等）只不过显示我们需要把输入值放在哪里：

f(2) = 1 - 2 + 22 = 3

有时候函数没有名字，例如：

y = x2

但仍然有：

上面我们说函数像个机器。但函数没有齿轮或传动带，也不会破坏输入！

函数显示输入与输出的关系。

"f(4) = 16" 就是说 4 和 16 是有关系的：4 → 16，而这个关系就是 f。

例子：这棵树每年长高 20厘米，所以树的高度与它年龄的关系可以用函数 h 来显示：

h(年龄) = 年龄 × 20

所以，如果年龄是 10年，高度就是：

h(10) = 10 × 20 = 200厘米

以下是这个函数的一些数值：

最常见的是 "数字"，但是 ……

…… 什么数字？

例如，在树的高度函数 h(年龄) = 年龄×20 里，负值的年龄是毫无意义的。

所以我们要用一个比较强大的综合工具来显示函数，这就是集合：

这是一些例子：

偶数集：{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...} 衣服集：{"帽子","衬衫",...} 质数集：{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...} 小于十的三的倍数：{3, 6, 9}

集里面的每个东西（例如 "4" 或 "帽子"）叫成员或元素。

所以，函数输入一个集的元素来输出另一个集的元素。

函数有特别的规则：

这些规则可以用一个定义来表达：

函数把一个集里的每一个元素联系到 另一个集里一个独一的值 （可能是同一个集）。

一、

"…… 每一个元素 ……" 的意思是 X 里的所有元素都与 Y 里的某一个元素有关系。

我们说函数覆盖 X （关系囊括所有元素）。

（但 Y 里的一些元素可能没有和 X 的元素有关系，这是允许的。）

二、

"…… 独一的值 ……" 的意思是函数是单值的。一个输入值不能有多于一个输出值。

所以 "f(2) = 7 或 9" 是不行的！

注意："一对多关系" 是不允许的， "多对一关系" 就可以：

如果一个关系不符合这两个规则，它就不是函数 …… 它还是个关系，但不是个函数。

可以写成列表：

这是个函数，因为：

所以这个关系符合函数的两个规则。

（注意 4 和 -4 都和 16 有关系，这是允许的。）

它是个关系，但不是个函数。原因是：

（但 Y 里的 "6" 没有关系是允许的）

在图上，单值的意思就是没有垂直线有多于一个交叉点。

如果有多于一个交叉点，图还是曲线，但不是函数。

有些函数有更严格的规则，去单射、满射与双射了解更多

上面的例子只有几个数值，但函数通常是建立在有无穷多元素的集合上的。

我们不能显示所有的值，所以以下只是一些例子：

在上面的例子里

你可以去阅读关于定义域、陪域与值域的特定页面来了解更多。

函数在数学里已经有很长的历史，也有很多不同的名称和表达方法。

以下是一些你应该知道的名词：

这是对函数的另一个看法：

把函数的输入和输出为一个 "序偶"，例如 (4,16)。

叫序偶，因为输入一定在前面，输出在后面：

(输入，输出）

像这样：

（x，f(x)）

例子：

（4，16） 的意思是函数的输入是 "4"，输出是 "16"

因此，函数可以被定义为序偶的集 ：

例子：{(2,4), (3,5), (7,3)} 是个这样的函数：

"2 和 4有关系"、"3 和 5 有关系"、"7 和 3 有关系"。

也注意：

但函数一定要是单值的，所以我们也要说

"若集里有 (a, b) 和 (a, c)，则 b 等于 c"

也即是说 "a" 值的输入不能有多于一个结果。

例子：{(2,4), (2,5), (7,3)} 不是函数，因为 {2,4} 和 {2,5} 代表 2 与 4 和 5 都有关系。

就是说，它不是函数，因为它不是单值的

我们可以把序偶画成图 ……

…… 因为序偶也是坐标！

所以坐标的集也是函数（如果它们符合上面的规则）

不同的函数输入值可以有完全不同的关系

去分段函数了解更多。

最后课题："显" 与 "隐"。

"显函数是可以用 y=f(x) 来表示的函数，例如：

y = x3 - 3

如果知道 x 就可以求 y

这是标准的 y = f(x) 格式。

"隐"函数是不用这个格式显示的函数，例如：

x2 - 3xy + y3 = 0

已知 x，怎样求 y？

可能很困难（甚至不可能！）从 x 求 y。

"隐" 的意思是关系是 "隐"蔽的。