方法一、

A.  1个元素入栈出栈一种可能记作f(1) = 1;

B.  2个元素入栈出栈有两种可能记f(2) = 2;

C. 3个元素入栈，考虑最后一个元素，出栈为第一个位置1种，第二个位置2种，第三个位置f(2)种，记作f(3) = 5;

D. 4个元素入栈，考虑最后一个元素，出栈为第一个位置1种，第二个位置（前面只有一个元素pop出去了，在3个push任意位置插入一个pop）有3种可能，第三个位置（说明已经pop出去两个元素，考虑1-3三个数，pop其中两个，若两个连续有前面f(2)种，不连续只有一种，即num_pop(1,2) = 2,num_pop(2,3)=2,num_pop(1,3)=1）有共5种可能，第四个位置pop即为前面f(3)的值，即f(4) = 1 + 3 + 5 + 5 = 14种。

E. 5个元素入栈，考虑最后一个元素，出栈为第一个位置1种，第二个位置（前面有4个元素选择一个pop）有4种可能，第三个位置（说明已有两个元素pop出去，若为pop的为1,2有2种，1,3有一种，1,4有1种，若pop的为2,3有2种，pop2,4有1种，pop3,4有2种）共计9种，第四个位置（说明已经pop出去三个元素，那么假设1未被pop，有f(3)种，2未被pop有f(2)种，3未被pop有f(2)种，4未被pop有f(3)种）共14种，第五个位置即f(4)，因此f(5) = 1 + 4 + 9 + 14 + 14 = 42种。

方法二、

A.  f(4) = |push| x | x | x | x | x | x |pop|

B. f(5) = |push|pop| f(4) | + |push| push | x | x | x | x | x | x | x | pop |

显然 |push| push | x | x | x | x | x | x | x | pop | > f(4) ，由于对应于第一个x可以是pop，可以有pop多一个在前。

设为：|push|push| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 |pop| x1一个pop不能让其产生消除第一个push

x2x1同时为pop时候，后面还有6个数即f(3) = 5种

x3消除第一个push是不可能的，不用考虑

x4和x1,x2,x3中两个个组合pop可以消除第一个push（但x1,x2同为pop不考虑）即有C(3)(2) - 1 = 2 种可能，而右边有4个空缺，有f(2) = 2种，综合考虑有2*2 = 4 种。

x5消除第一个push是不可能的，不用考虑

x6消除第一个push,若x5为push，那么必然不成立。因此x1-x4排列2push,2pop，有C(4)(2) - 1 = 5种，而对于后者只有x7只有push一种可能，综合考虑有5*1 = 5种

x7消除第一个push，不可能。

因此，f(5) = f(4) + f(4) + 5 + 4 + 5 = 14 * 3 = 42

方法三、

卡特兰数 h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1) = C(2n,n)/(n+1)  = c(2n,n)-c(2n,n+1) 将5代入 直接得到答案42

证明：

1. 假设1~n的元素，中第i个元素最后出栈，那么在i之前的元素都在i入栈前已经完成了出栈，即有f(i-1)种。所有i之后的元素在i入栈后，先后完成了入栈和出栈，有f(n-i)种。

令f(0) = 1，那么有; f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2)……f(n-1)*f(0) 

2. 用0,1分别表示出栈和入栈，那么1~5的入栈出栈操作可以用10位01bit位来模拟，但需要保证从左边到右边扫描过程中，1个个数总是大于或等于0的个数。

假设采用枚举的方法，即C(2n,n)种，有哪些不符合要求？

假设某个偶数位2m，产生了冲突，前面0的个数超出1个个数，显然2m位是0，那么必须有2m-1位刚好匹配完所有的push，即1,0对等。显然奇数不可能实现这个，一次不可能在偶数位冲突。

假设某个奇数位2m+1产生冲突，那么前2m位刚好匹配，2m+1位是0，然后后面有n-m-1个0，n-m个1,，将后面的数据都对应反向，即n-m个0，n-m-1个1，仍不影响该结果不可能是合理解，在n-m+m+1 = n+1个0，n-1个1产生的组合包含n个0，n个1产生的不合理解。

n-1个1,n+1个0，组合成2n个bit的列，在某一位上0的个数会超过1的个数，假设这个位是偶数位，显然不可能，若为奇数为，设为2*x + 1，将后面数据都反向对应有n-x-1个0，n-x个1，完全也不影响这个列成为不符合要求的列，即有n-1个1，n+1个0组合不合理情况包含n个0，n个1产生的不合理解。

即n-1个1，n+1个0，产生的不合理解即为全部不合理解。

因此h(n) = c(2n,n) - c(2n,n+1);

方法四、

代码解决：

少量数据可以直接10位bit，每次+1，判断是否有5个1，判断是否从左到右边遍历总是1个数不小于0个数，符合即可输出结果。

也可以初始化5个1,5个0，然后在这个集合中next_permutation，求所有集合，然后对每种组合进行判断，代码如下。