1. 两大类分布的总体概述

2. 什么是期望？

3. 离散概率分布

3.1 伯努利分布

3.2二项分布，多项式分布

3.3几何分布和负二项分布

3.4 超几何分布

3.5 泊松分布

4. 连续概率分布

4.1 均匀分布

4.2正态分布

4.3 Beta分布

4.4 卡方分布

5. 补充

概率分布是指用于表述随机变量取值的概率规律，总体包括离散概率分布和连续概率分布。

离散概率分布包括：

连续概率分布包括：

在了解这些分布之前，需要先理解一个名词——期望。

期望和均值类似，就连计算方法也类似，但是均值是对数据本身进行描述，但期望描述的是概率分布。

所以，变量X的期望通常写作E(X)，E(X)的计算公式为：

是假设一个事件只有发生或者不发生两种可能，这两种可能是相互独立却对立，并且这两种可能是固定不变的。那么，如果假设它发生的概率是p，那么它不发生的概率就是1-p。这就是伯努利分布。

伯努利实验就是做一次服从伯努利概率分布的事件，它发生的可能性是p，不发生的可能性是q(1-p)。

举例：抛一次硬币，正反面各自的概率。

公式:

其中，x代表随机变量可能的结果，即正反面或者实验的阳性阴性结果。

期望:

方差：

二项分布是多次伯努利分布实验的概率分布。

其条件为：

举例: 为了区分概率，不再以硬币举例，这次以答题正确概率为例，随机答题正确性为1/4，即答对可能性为0.25，计算3道题目答对1题的概率为：3 x 0.25^1^ x 0.75^2^

公式为：

, 其中 (也就是组合的公式)

p是每一次试验的成功概率，n是试验次数，又写作：，

根据n与p的不同数值，二项分布的概率分布形状会发生变化，p越接近0.5，图形越对称，p0.5，图形左偏。图形可见：二项分布概率直方图

二项分布单次试验的期望为 , 方差为

重复n次试验的期望为 , 方差为

多项分布是在二项分布的基础上进一步的拓展。

也就是由计算只有两种结果变成计算两种以上结果的概率分布，

公式，

另一种形式(emmm真优雅)：

几何分布和负二项分布与二项分布恰恰相反，求的是在结果发生概率和发生次数已知的情况下，达成这一条件所需的事件总数的概率。

几何分布和二项分布极为相像，继续以随机答题为例，假定我们有一套题，在答对第一道题前要答多少题？这里的求解概率分布就是一种几何分布。

其条件为：

每道题目答对概率都为0.25（p），答错概率都为0.75（q），则当第4题才答对第一道题就为：0.25 x 0.75^3^

则，公式为：

其中，p为成功概率，q=1-p 为失败概率，为了在第r次试验时取得成功，首先要失败（r-1）次。

期望为 ,  公式推导见几何分布的期望公式的推导

方差为

与几何分布相比较，负二项分布多出了一个结果发生次数的参数。

继续以答题为例，答对3道题需要做题多少？

公式：

其中，

p为答对概率，k为所要成功（答对）次数，因为第r个失败是最后发生的，所以需要k+r-1次重复实验中有k次成功的。

期望为

从a个白球和b个黑球中抽取n个球，那么以X表示抽取出的白球的数目，这个求解概率则为超几何分布

其条件为：

不放回抽样

公式为：

泊松分布的本质还是二项分布，泊松分布只是用来简化二项分布计算的。

一个简单例子，每天下雨概率是12%，上个月下了5次雨，下个月下雨8次概率是多大？这个求解概率情况即为泊松分布。

泊松分布应用条件：

若X符合泊松分布，且每个区间内平均发生λ次，则为

X~ P~o~(λ)

发生r次事件的概率公式为：

其中，r为给定区间发生目的事件次数，e为数学常数2.718。

举例和公式推导，网上有个例子解释得很好，见用一个”栗子“讲清楚泊松分布

因为X~ P~o~(λ)，则E(X)为给定区间内能够期望的事件发生数目，也就是求解区间内发生的平均发生次数，则期望，即E(X)等于λ，方差也为λ（泊松分布的参数本身就是期望和方差）。

泊松分布的概率形状为：λ小，则分布向右偏斜，随着λ变大，分布逐渐变得对称（为什么会这样？参考见如何深刻理解二项式分布到泊松分布

另外，泊松分布在特定条件下可以用来近似代替二项分布。

已知，二项分布公式为： ，

当n过大时，计算变得繁琐，而又知道重复n次试验的期望为 , 方差为

所以当λ≈np，λ≈npq ，即np≈npq时候，也就是q近似为1且n足够大时，我们可以用泊松分布替代二项分布，则条件为

二项分布和几何分布的区别是什么？各自应该在什么时候用？

二项分布和几何分布的应用条件很类似，两者的前两个条件（①独立试验；②每一次试验的成功概率相同），差别在于实际上要求的结果。如果试验次数固定，求成功一定次数的概率，则需要使用二项分布；使用二项分布还可以求出在n次试验中能够期望得到的成功次数。如果要求第一次成功之前需要试验多少次，则需要使用几何分布。

参考链接：

伯努利分布、二项分布以及多项分布

https://zhuanlan.zhihu.com/p/50462601

https://blog.csdn.net/qq_37960402/article/details/88953500

https://www.cnblogs.com/Renyi-Fan/p/13909553.html

https://zhuanlan.zhihu.com/p/24711669

https://blog.csdn.net/zlbflying/article/details/47777943

https://zhidao.baidu.com/question/431881117.html

书籍：统计学的世界

书籍：深入浅出统计学