在上一篇文章中，我们引入了语言文字对称性这个领域，重点介绍了阿拉伯数字的对称性，相关内容请戳：

文字对称中的数学与魔术（一）——阿拉伯数字的对称性

今天我们接着介绍英文的对称性。

英文字母的对称性

其实世界上很多字母文字的字母元素，都具有良好的对称性，那英文字母自然是其中最广泛使用的典型代表。因为英文字母存在大小写以及书写方式不同导致的区别。为了方便，我们仅仅区分明显的大小写的差别，对于不同字体的区别，我们只要能找到一种较通用字体是对称的，那我们就认其是对称的。这主要是为了简化问题，比如，t字母在一些字体里面是没有下面的弯钩，是左右对称的，甚至看成一个十字架也是上下和中心对称的，f在一些字体和手写体里，是中心对称的；而哪怕z，x这种正体看上去明显对称的字母，你换个花里胡哨的字体也能搞不对称了。

不绕弯子了，英文字母的对称性总结在下面的表中：

表1 英文字母对称性

小写字母-中心对称

大写字母-中心对称

小写字母-左右轴对称

大写字母-左右轴对称

小写字母-上下轴对称

大写字母-上下轴对称

自身对称

f，l，o，s，t，x，z

H，I，N，O，S，X，Z

i，l，m，n，o，r，t，u，v，w，x

A，H，I，M，O，T，U，V，W，X，Y

B，C，D，E，H，I，K，O，X

c，l，o，x

互为对称

bq，dp，nu，

MW

pq

MW

bp，dq，nu，wM

注意凡是互为对称的两个图形，由于是组合，仅按字母序用一个排列来代表它，省略另一个。

说其中比较有趣的几个发现。其中b的上下轴对称结果是p，左右是d，再上下是q，也就是说整个4个字母合在一起可以构成一个D2，或者叫Klein-4群。要说这些字母在设计写法之初没有考虑过它们在种种操作下的关系，我是不信的。

其中部分字母是集中心，上下左右对称于一身的，这些大多符合D2群，小写的包括l，o，s，t，x，大写的仅有O，X，他们可谓是对称字母的集大成者了。而f，sS，zZ，N只是纯的中心对称，并没有两个轴对称性，仅是个旋转180度重合的C2群的对称。但神奇的是，这两个轴对称得到的图形却是一样的，是一个沿着两个不同方向镜像，甚至都不再是字母了。而它们之间差一个中心对称的180度旋转，而因为它是中心对称的，所以又了。而阿拉伯数字中，3则是左右轴对称和中心对称的结果一样，也都不是数字，自身却是上下轴对称的。这些微妙的区别和联系，都是图形背后的数学结构的结果。

n和u去看那个弯弯突出所在地的话，会发现他们严格来讲只是互为中心对称关系；忽略掉弯弯，也就是把其本身当成一个左右轴对称图形来看，那就也互为上下的轴对称了。其实忽略那个弯弯，n就是并集符号了，上下对称或中心对称就成了交集符号，这倒是和大写的U长得几乎一模一样了。m和w之间也是类似的关系，他们的大写的时候就是近似的同时中心和上下轴对称了（同样源于自身就是左右轴对称的），而大写的N变成了一个自身的中心对称图形，进入另一个世界了。

还有，a和e在书写体上是比较别扭的互为中心对称图形的，这在马丁加德纳先生关于文字对称的论述中数次提到。

英文单词的对称性

在研究字母和数字的对称时，和汉字稍有不同在于，我们比较在乎由其组合出来的单词或者进制数的整体对称性，汉字的也能研究，不过因为单个汉字的对称的已经比较多了，就相对没有这么重点；而数字的组合相对少，文化意义也不如字母。

那字母序列的对称性和单个字母之间的对称性是什么关系呢？其实这相当于把一系列本身存在对称性质的图形组合成新图形的过程，对称性如何保持甚至扩展，是有章可循的。我们分类来看，对字母序列Sn（默认指的都是水平空间排布的序列，其下一个关系，对应空间中的相对靠右），一共有以下几种：

序列的中心对称性：

要求Center(S_i) = S_(n + 1 - i)，对任意的1