在筛法中我们经常要对出现在分母上的阶乘进行放缩. 虽然我们有 Stirling 公式来描绘其渐近性质:

N!=2πN​(eN​)N{1+O(N1​)},

但是为了做精密的数值估计, 我们需要得到适用于阶乘的严格不等式. 因此在本节中我们将对其进行推导.

对阶乘取对数, 则通过积分放缩法可知其具有下界:

n≤N∑​logn​≥n≤N∑​∫n−1n​logtdt=∫0N​logtdt=NlogN−N=logeNNN​.​

于是:

定理 7.3.0.1. 对于所有的 N∈Z+, 恒成立: N!1​≤(Ne​)N.

另一方面, 再根据

logn≥∫n−1n​logtdt,

我们还可以得到:

推论 7.3.0.2. 对于所有的 N∈Z+, 函数 NNe−N/N! 单调递减.