测量误差可以用绝对误差，也可以用相对误差表示：

(1)系统误差(2)随机误差(3)粗大误差

评价测量结果，反应测量误差大小，常用到精密度、正确度和准确度3个概念。 精密度反映随机误差大小的程度，它是对测量结果的重复性的评价。精密度高是指测量的重复性好，各次测量值的分布密集，随机误差小。但是，精密度不能反映系统误差的大小。精密度反映测量值离散程度。 正确度反映系统误差大小的程度。正确度高是指测量数据的算术平均值偏离真值较小，测量的系统误差小。但是正确度不能确定数据分散的情况，即不能反映随机误差的大小。 准确度反映系统误差与随机误差综合大小的程度。准确度高是指测量结果既精密又正确，即随机误差与系统误差均小。

常用的测量方法有异号法、交换法、替代法、对称法。

服从正态分布的随机误差具有下列特点： (1)单峰性——绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率答； (2)对称性——大小相等而符号相反的误差出现的概率相同； (3)有界性——在一定的测量条件下，误差的绝对值不超过一定的限度； (4)抵偿性——误差的算术平均值随测量次数\(n\)的增加而趋于零。

当测量次数无穷多或足够多时，测量值的误差分布才接近正态分布，但是当测量次数较少时（例如，少于10次，物理实验教学中一般取\(n=6\sim 10\)次），测量值的误差分布将明显偏离正态分布，而遵从\(t\)分布，又称为学生分布。\(t\)分布曲线与正态分布曲线的形状类似，但是\(t\)分布曲线的峰值低于正态分布；而且\(t\)分布曲线上部较窄，下部较宽。

为什么置信概率取0.95 不确定度的\(A\)类（采用统计方法评定的\(A\)类不确定度）分量用\(u_A(x)\)表示。物理实验中\(u_A(x)\)一般用多次测量平均值的标准偏差\(s(\overline{x})\)与\(t\)因子\(t_p\)的乘积来估算，即$$u_A(x)=t_ps(\overline x)$$ 式中，\(t\)因子\(t_p\)是与测量次数\(n\)和对应的置信概率\(p\)有关，当置信概率为\(p=0.95\)，测量次数\(n=6\)时，我们可以查到\(t_{0.95}/\sqrt{n} \approx 1\)，则有$$u_A(x)=s(x)$$ 即在置信概率为\(0.95\)的前提下，测量次数\(n=6\)，\(A\)类不确定度可以直接用测量值的标准偏差\(s(x)\)估算。 因此，在未加说明时，普遍采取置信概率\(p=0.95\)。

下式就是不确定度的合成公式：

完整的数据处理结果，标准形式如下：

式中，\(\overline x\)为多次测量的平均值，\(u(x)\)为合成不确定度，\(u_r\)是两者的比值，称为测量的相对不确定度。

1.单次测量 因为我们的实验过程都是指定的，并不需要我们自己来构思实验过程，所以对于测量单次或者多次无需判断，这部分不在考点内。 当遇到测量结果是单次测量时，我们的不确定度只有\(u_B(x)\)一项。它的取值有两种，一种是仪器标定的最大误差限（暂时没遇到，如果有应该会在型号说明那把），第二种是实验室给出的最大允许误差\(u(x)=u_B(x)=\Delta_仪\)。如果两种都有，取较大者。 2.多次测量 多次测量时，不确定度一般按照下列过程进行计算：

在实际测量中，我们遇到的往往是间接测量，因此间接测量具有非常重要的意义。假设物理量\(F\)是\(n\)个独立的直接测量量\(x,y,z,\cdots\)的函数，即\(F=f(x,y,z,\cdots)\)，如果它们相互独立，则\(F\)的不确定度可由各直接测量量的不确定度合成，即$$u(F)=\sqrt{\left(\cfrac {\partial{f}}{\partial {x}}\right)^2 u^2 (x)+\left(\cfrac {\partial{f}}{\partial {y}}\right)^2 u^2 (y)+\left(\cfrac {\partial{f}}{\partial {z}}\right)^2 u^2 (z)+\cdots}$$ 式中，\(u(x),u(y),u(z)\)为各直接测量量\(x,y,z,\cdots\)的不确定度。

当\(F=f(x,y,z,\cdots)\)中各观测量之间的关系是乘、除或方幂时，采用相对不确定度的表达方式，可以大大简化合成不确定度的运算。 方法是先取自然对数，然后作不确定度的合成，即

间接测量不确定度的计算过程类似直接测量的计算过程，这里就不写了，只是将\(u(x)\)替换成\(u(F)\)。

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对于有效数字注意以下几点即可 *有效数字位数多少的计算是从测量结果的第一位（最高位）非零数字开始，到最后一位数。 *数字结尾的0不应随便取舍，因为它与有效数字密切相关。例如，\(103000\)与\(1.03\times 10^5\)不一样，前者有6位有效数字，而后者只剩下3位。 *常用数学常数的有效位数（即\(e\)、\(\pi等\))，可根据需要进行取舍，一般取位应比参加运算各数中有效位数最多的数再多一位。 *在仪器上直接读取测量结果时，有效数字的多少是由被测量的大小及仪器的精度决定。正确的读数，应在仪器最小分度以下再估读一位，除非有特殊说明该仪器不需要估读。如千分尺等指针式器具，加上我们估读的那位，才读到千分位。而精密数字显示仪器和游标仪器就不用估读。

*在加减法运算中，有效数字取决于参与运算的数字中末位位数最高的那个数。 *乘除法运算的有效位数取决于参与运算数字中有效位数最少的那个数，必要时可多取一位。(当两个乘数的第一位数相乘大于10，则多取一位） 四则运算的基本原则与以上相同。

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这里一定是个考点。 例：已知角度为\(15^\circ21’\)，求\(sinx\)。 答：在x的最后一位数上取1个单位作为\(x\)的不确定度，即\(u_{min}=\Delta=1'\)，将它化为弧度有\(\Delta x=0.000\ 29rad\)；设\(y=sinx\),并对其求微分，得\(\Delta y=cosx\Delta x \approx 0.000\ 28\)，不准确位是小数点后的第4位，因此\(sin x\)应取到小数点后的第4位，即\(sinx=0.264\ 7\)。 如果上述角度是\(15^\circ21'10''\),则\(\Delta x=1''=0.000\ 004\ 85 rad\)，可算出\(u(y)=cosx \Delta x \approx 0.000\ 004\ 7\),不准确位是小数点后第6位，因此\(sinx\)应取到小数点后的第6位，即\(sinx = 0.264\ 761\)。

例：已知\(x=57.8\),求\(lg\ x\)。 答：设\(y=lg\ x\),已知\(u_{min}=\Delta x=0.1\),有\(\Delta y=\Delta(ln\ x/ln\ 10)=0.434\ 3\Delta x /x \approx0.000\ 75\),因此\(lg\ x\)应取到小数点后第4位，即\(lg\ x =1.761\ 9\)。

综上所述，总结如下： *加、减法运算，以参加运算各量中有效数字末位最高的为准，并与之对齐； *乘、除法运算，以参加运算各量中有效数字最少的为准，必要时可多取一位。(当两个乘数的第一位数相乘大于10，则多取一位） *混合四则运算按以上原则进行； *特殊函数运算，通过微分关系进行；

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不确定度的有效位数在一般情况下，保留一位，至多不超过两位。 具体：如果不确定度有效位数的第一位数小于或等于3，允许保留2位有效数字；如果不确定度有效位数的第一位数大于3，则只能保留一位有效数字 （在实际中经常会遇到测量结果与不确定度的有效位数发生矛盾的情况，原则是以不确定度的有效位数确定测量结果的有效位数，因此在计算测量结果时不要过早地将数字截断）

数据截断时，剩余的尾数按”小于5舍弃，大于5进位，等于5凑偶” 等于5凑偶的意思是当尾数等于5，且5后没有其他不为零的数字时，如果它前面的数是奇数，则加1，将其凑成偶数，如果是偶数则不变。

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1.选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小: 坐标分度值的选取应能反映测量值的有效位数，一般以 1～2mm对应于测量仪表的最小分度值或对应于测量值的次末位数）。 2. 标明坐标轴： 用粗实线画坐标轴，用箭头标轴方向，标坐标轴的名称或符号、单位,再按顺序标出坐标轴整分格上的量值。 3.标实验点： 实验点可用“+"、 “\(\times\)”、“\(\circ\)”等符号标出（同一坐标系下不同曲线用不同的符号）。 4. 连成图线： 用直尺、曲线板等把点连成直线、光滑曲线。一般不强求直线或曲线通过每个实验点，应使图线线正穿过实验点时可以在两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。图点处断开。 5.标出图线特征： 在图上空白位置标明实验条件或从图上得出的某些参数。如利用所绘直线可给出被测电阻R大小：从所绘直线上读取两点 A、B 的坐标就可求出 R 值。 6.标出图名： 在图线下方或空白位置写出图线的名称及某些必要的说明。 至此一张图完成 注意点 *问题：曲线太粗，不均匀，不光滑 应该用直尺、曲线板等工具把实验点连成光滑、均匀的细实线。

*问题：横轴坐标分度选取不当 横轴以3 cm 代表1 V，使作图和读图都很困难。实际在选择坐标分度值时，应既满足有效数字的要求又便于作图和读图，一般以1 mm 代表的量值是10的整数次幂或是其2倍或5倍。

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实验曲线作出后，可由曲线求出经验公式及所含参数，称为图解法。物理实验中常见的有：直线，指数曲线，抛物线等。其中直线是最简单的一种。 建立经验公式的一般步骤： *第一步：根据曲线的形状判断曲线的类型； *第二步：由曲线的类型判断公式的特点，建立经验公式； *第三步：用实验数据来检验公式的准确度。 由曲线图直接建立经验公式是困难的，我们可以用变数置换法把曲线图改成直线图，再按建立直线方程的办法建立经验公式。 （1）确定直线图形的斜率和截距求测量结果 图线\(y=kx+b\)，可在图线上选取两点\(P_1(x_1,y_1)\)和\(P_2(x_2,y_2)\)（不能用原来测量的点）计算其斜率：$$k=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ \(P_1\)和\(P_2\)不要太靠近，以减小误差。其截距b是当\(x=0\)时的y值；或选取图上的任一点\(P_3(x_3,y_3)\)，带入\(y=kx+b\)中，并利用斜率公式得：$$b=y3-\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x_3$$ 确定直线图形的斜率和截距以后，再根据斜率或截距求出所含的参量，从而得出测量结果。 （2）根据图线求出经验公式 这个就只是将函数适当转换成线性关系，不多说，这个初高中做得挺多的。

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在使用逐差法计算时，必须把测量数据分成高、低两组，对这两组实行对应项相减，不能采取逐项相减的办法处理数据。 为了保持多次测量的优点，体现出多次测量减小随机误差的目的，将一组等间隔连续测量数据（共\(2n\)次）按次序分成高低两组（两组次数应相同）。 一组为\(x_0,x_1,\cdots,x_n-1\)，另一组为\(x_n,x_{n+1},\cdots,x_{2n-1}\),取对应项的差值后再求平均值：$$\delta=\frac 1n \sum_{i=0}^{n-1}(x_{n+i}-x_i)$$ 标准偏差（即不确定度）为$$s(\delta)=\sqrt{\cfrac {\sum_{i=0}{n-1}[(x_{n+i}-x_i)-\delta]2}{n-1}}$$

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设已知函数的形式为$$y=bx+a$$ 式中，a和b为两个待定系数，成为回归系数；只有\(x\)为变量，由于只有一个变量，因此称为一元线性回归。 （1）回归系数的确定 回归系数a与b为$$\begin{cases} b=\cfrac{\overline{xy}-\overline{x}\overline{y}}{\overline{x^2}-\overline{x} ^2}\\ a=\overline{y}-b\overline{x} \end{cases}$$

(2)相关系数的确定 为了判断所作的线性回归结果是否合理，引入线性回归相关系数的概念，相关系数以\(r\)表示，定义公式为$$r=\cfrac {\overline{xy}-\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{(\overline{x}2-\overline{x2})(\overline{y}2-\overline{y2})}}$$ 相关系数\(r\)的取值范围为\(-1