哈密顿算子：（数学符号： ∇ \nabla ∇（又称nabla，奈布拉算子）），读来作Hamilton。 向量微分算子： ∇ = ∂ ∂ x i ⃗ + ∂ ∂ y j ⃗ + ∂ ∂ z k ⃗ \nabla=\frac{\partial }{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial }{\partial z}\vec{k} ∇=∂x∂​i +∂y∂​j ​+∂z∂​k

性质：

麦克斯韦方程的微分形式： ∂ D x ∂ x + ∂ D y ∂ y + ∂ D z ∂ z = ρ \frac{\partial D_{x}}{\partial x}+\frac{\partial D_{y}}{\partial y}+\frac{\partial D_{z}}{\partial z}=\rho ∂x∂Dx​​+∂y∂Dy​​+∂z∂Dz​​=ρ ∂ B x ∂ x + ∂ B y ∂ y + ∂ B z ∂ z = 0 \frac{\partial B_{x}}{\partial x}+\frac{\partial B_{y}}{\partial y}+\frac{\partial B_{z}}{\partial z}=0 ∂x∂Bx​​+∂y∂By​​+∂z∂Bz​​=0 ∂ H z ∂ y − ∂ H y ∂ z = δ x + ∂ D x ∂ t \frac{\partial H_{z}}{\partial y} -\frac{\partial H_y}{\partial z} = \delta_{x}+\frac{\partial D_{x}}{\partial t} ∂y∂Hz​​−∂z∂Hy​​=δx​+∂t∂Dx​​ ∂ H x ∂ z − ∂ H z ∂ x = δ y + ∂ D y ∂ t \frac{\partial H_{x}}{\partial z}-\frac{\partial H_{z}}{\partial x}=\delta_{y}+\frac{\partial D_{y}}{\partial t} ∂z∂Hx​​−∂x∂Hz​​=δy​+∂t∂Dy​​ ∂ H y ∂ x − ∂ H x ∂ y = δ z + ∂ D z ∂ t \frac{\partial H_{y}}{\partial x}-\frac{\partial H_{x}}{\partial y}=\delta_{z}+\frac{\partial D_{z}}{\partial t} ∂x∂Hy​​−∂y∂Hx​​=δz​+∂t∂Dz​​ ∂ E z ∂ y − ∂ E y ∂ z = − ∂ B x ∂ t \frac{\partial E_{z}}{\partial y}-\frac{\partial E_{y}}{\partial z}=-\frac{\partial B_{x}}{\partial t} ∂y∂Ez​​−∂z∂Ey​​=−∂t∂Bx​​

∂ E x ∂ z − ∂ E z ∂ x = − ∂ B y ∂ t \frac{\partial E_{x}}{\partial z}-\frac{\partial E_{z}}{\partial x}=-\frac{\partial B_{y}}{\partial t} ∂z∂Ex​​−∂x∂Ez​​=−∂t∂By​​

∂ E y ∂ x − ∂ E x ∂ y = − ∂ B z ∂ t \frac{\partial E_{y}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}=-\frac{\partial B_{z}}{\partial t} ∂x∂Ey​​−∂y∂Ex​​=−∂t∂Bz​​

引进哈密顿算子，上式简化为： { ∇ ⋅ D ⃗ = ρ ∇ ⋅ B ⃗ = 0 ∇ × H ⃗ = δ ⃗ + ∂ D ⃗ ∂ t ∇ × E ⃗ = − ∂ B ⃗ ∂ t \begin{cases} \nabla \cdot \vec{D}=\rho \\ \nabla \cdot \vec{B}=0 \\ \nabla \times \vec{H}=\vec{\delta}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \\ \nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​∇⋅D =ρ∇⋅B =0∇×H =δ +∂t∂D ​∇×E =−∂t∂B ​​

笛卡尔坐标系下的梯度： ∇ P = ∂ P ∂ x i ⃗ + ∂ P ∂ y j ⃗ + ∂ P ∂ z k ⃗ = g r a d P \nabla{P}=\frac{\partial P}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial P}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial P}{\partial z} \vec{k}=gradP ∇P=∂x∂P​i +∂y∂P​j ​+∂z∂P​k =gradP

（结果为矢量）

∇ ∙ V ⃗ = ∂ V x ∂ x + ∂ V y ∂ y + ∂ V z ∂ z = d i v V ⃗ \nabla \bullet \vec{V}=\frac{\partial V_{x}}{\partial x}+\frac{\partial V_{y}}{\partial y}+\frac{\partial V_{z}}{\partial z}=div \vec{V} ∇∙V =∂x∂Vx​​+∂y∂Vy​​+∂z∂Vz​​=divV （结果为标量）

笛卡尔坐标系下旋度定义： ∇ × V ⃗ = ∣ i ⃗ j ⃗ k ⃗ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z V x V y V z ∣ = ( ∂ V z ∂ y − ∂ V y ∂ z ) i ⃗ + ( ∂ V x ∂ z − ∂ V z ∂ x ) j ⃗ + ( ∂ V y ∂ x − ∂ V x ∂ y ) k ⃗ = r o t V ⃗ \nabla \times \vec{V}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ V_{x} & V_{y} & V_{z} \end{array}\right| = \left(\frac{\partial V_z}{\partial y} -\frac{\partial V_{y}}{\partial z}\right) \vec{i}+\left(\frac{\partial V_{x}}{\partial z}-\frac{\partial V_{z}}{\partial x}\right) \vec{j}+\left(\frac{\partial V_{y}}{\partial x}-\frac{\partial V_{x}}{\partial y}\right) \vec{k} = rot \vec{V} ∇×V =∣∣∣∣∣∣​i ∂x∂​Vx​​j ​∂y∂​Vy​​k ∂z∂​Vz​​∣∣∣∣∣∣​=(∂y∂Vz​​−∂z∂Vy​​)i +(∂z∂Vx​​−∂x∂Vz​​)j ​+(∂x∂Vy​​−∂y∂Vx​​)k =rotV （结果为矢量）

∇ ⋅ ( A ⃗ × B ⃗ ) = B ⃗ ⋅ ∇ × A ⃗ − A ⃗ ⋅ ∇ × B ⃗ \nabla \cdot(\vec{A} \times \vec{B})=\vec{B} \cdot \nabla \times \vec{A}-\vec{A} \cdot \nabla \times \vec{B} ∇⋅(A ×B )=B ⋅∇×A −A ⋅∇×B 证明

向量内积的性质：

内积（点乘）的几何意义包括：

向量外积的性质

向量外积的几何意义 在三维几何中，向量a和向量b的外积结果是一个向量，有个更通俗易懂的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在3D图像学中，外积的概念非常有用，可以通过两个向量的外积，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：

参考