德国科学家普朗克――量子力学创始人之一

普朗克长度是在量子力学中认为的物理现实中最小长度单位，其大小为1.616229（38）x10^-35米，量子力学认为任何小于普朗克长度的距离都是没有意义的。因此它们认为物质不能无限可分。不过无论物质到底能不能无限可分，在数学上都是能够无限分下去的。数学上无限的东西太多了，也允许无限的存在，比如说整数是无限的、自然数是无限的、小数是无限的、奇数是无限的等等等等，这么多的无限是因为数学是对现实的抽象，所谓的点线面体不过是对现实事物的概念化，在数学中一个点可以无限小、一条线由无数个点组成，无数条线组成一个面、这个面无限薄，无限个面组成一个立体，但在现实中是不存在无限小的点、没有厚度（无限薄）的面，因此数学和现实不是一回事儿。

一，那圆的周长在现实中没法分下去，这是因为：

1，割圆术在实践上越来越难，几何法时期早已过去。

自从古希腊的阿基米德开始，到我国公元263年的刘徽，用割圆术到了3072边形，圆周率精确到小数点后三位，刘徽说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”包含了求极限的思想。再到南北朝的祖冲之精确到小数点后7位，

最后直到1610年德国数学家鲁道夫计算到小数点后35位止，几何法越来越难，用不着到普朗克长度，在实践上也无法操作，每增加一倍边数，计算量就是以前所有工作的两倍。

2，普朗克长度的限制。

即使在实践上能够操作，但边长长度真到了普朗克长度，如果真像量子力学认为的，在实践中没有小于普朗克长度的东西，到了那时自然也就无法分下去。

3，超越数的特点

数学不但有无限，还有极限，像微积分就是极限的体现，什么化曲为直、化圆为方、曲直转化、不变代变，什么积分是微分的无限积累，还有在割圆术中刘徽的极限思想，这些思想当然都超越了普朗克长度的限制，但是圆周率π却是个超越数，上面说过圆周率的超越性否定了“化圆为方”这古老尺规作图问题的可能性，因所有尺规作图法只能得出代数数，而得不出超越数。也就是说刘徽“化圆为方”的极限思想和他的尺规作图方法是不适用于无限分割圆周长的。

二，π在数学上的分割或计算根本不理会普朗克长度

前面说过，数学是抽象化的，它才不管什么普朗克长度限制来。在分割圆求圆周率的问题上，十七世纪以后人们用分析法来求π，一般用无穷级数或无穷连乘积求π，梅钦（英国数学家梅钦1706年推出第一个公式）类公式，五花八门，但这种方法虽然摆脱割圆法的繁复计算，但仍属人工计算，到1948年英国的弗格森和美国的伦奇共同发表了π小数点后808位小数值，这是人工计算的最高纪录。

1949年计算机的出现使π值计算进入突飞猛进地步，第一台电脑只用了70个小时就把π值计算到了2037位，以后纪录不断被刷新，计算公式也不断更新，2011年日本人近藤茂利利用家中电脑和云计算把π计算到了10万亿位。刚刚2019年3月14日（国际圆周率日）谷歌日本女员工Emma Haruka Lwao将圆周率π算到31万亿位。

虽然离普朗克长度对应的位数还有几个数量级，但将来肯定会轻松超越。普朗克长度是为呼应量子力学的量子化而出现的，它对应的是普朗克质量的黑洞所对应的史瓦西半径，与康普顿波长相当，它主要是在测量方面的影响，与纯抽象的数学运算无关。总之在数学上圆的周长可以无限分割，而不必考虑普朗克长度，也不必考虑超越数限制，因为你永远不会得到圆周率π的精确值，又何必在乎能不能画出精确圆来，π的位数已经达到几十万亿位了，这个精度足够了，早已超越最精确的误差。

圆周率已经被证明是无理数，是无限不循环小数，不可被算尽；在现实世界中，物质是否真的无限可分，这个目前人类还没有答案，至于普朗克尺度，那是指现有理论所能生效的最小尺度。

圆周率的数值是圆的周长与其直径的比值，并且在1761年由数学家约翰·海因里希·兰伯特证明了：圆周率是一个无理数。并且这一性质不仅适用于十进制（小编之前就在悟空上见过好几次，有人认为圆周率算不尽是因为用的是十进制），在二进制、十六进制等等下，圆周率都是算不尽的。

既然圆周率算不尽，那么圆的周长岂不是也为一个算不尽的值吗？从数学上来看，一个圆的周长等于其直径乘上圆周率π，如果直径为一，那么周长就等于π，很显然周长也是算不尽的（除非直径为以π为分母的数，但那样一来，直径就成了算不尽的数）

但在现实生活中，圆形物体的周长却是可以精确测量出来的（这里说的精确，是指在一定的误差标准内），实际上这就是问题的关键所在，数学中的圆是完美的圆，但现实世界中却没法制造出来，因为没法保证在制作过程中，一点误差都不出现。

总的来说，“圆周率是算不尽的”这一点已经在数学上被证明；普朗克长度是现有理论生效的最短尺度，再短就没有意义了；圆的周长也是算不尽的，因为周长=直径*圆周率（除非直径是以π为分母的数，但那样一来，直径就成了算不尽的数）

数学是物理学的基础工具，但物理现实只是数学现实或者数学世界的一个映射，适合数学世界的游戏规则未必适合物理现实。比如在数学世界中，数学家可以定义高维空间，并研究它的数学性质，不管多少维的空间都行。但现实世界不管是三维还是十一维，总之是有限制的，但数学却是无限制的，可以研究无限维空间！

图示：要想高大上就得用数学家发明的黑话（数学符号）

此外如无理数这样的东西，在物理现实中就不可能真实存在，因为真实世界就没有无限的容身之地。问题中所提到的普朗克长度是啥意思？

图示：长度的度量

按当前物理学对我们这个宇宙的了解，普朗克长度就是我们这个宇宙最小的长度单位，不能再小。至于为什么叫普朗克，不叫别的名字，因为普朗克是开启量子物理学大门的第一人。他最先认识到，如果要解释某些物理现象，比如黑体的辐射之谜，必须假设我们这个物理世界不是无限可分的，不论时间、空间还是能量都存在最小值！

现在我们就对惠子的这句话有了新理解：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，惠子是庄子的好朋友，他可能是中国历史上第一个思考无限这个概念的哲学家。

图示：惠子死了，庄子鼓盆而歌，祝贺他超脱了凡尘俗世。

但如果这个一尺之棰是真实的，那么日取其半，就做不到万世不竭。我们不妨来计算一下，在理论上需要多少天才能把这棰折到普朗克尺度去。为了方便偷个懒，就把一尺算成一米好了，那么需要多少天才能从一米给折到10^-36米这么短呢？答案惊人，不要说万世不竭，连一世都差得远，通常一世说的是三十年，一生一世，三十年夫妻就算一世了。只需要短短的120天，不要小看了折半的威力，这是一个指数递减的过程。

我必须声明一下，这和我们的技术实力无关，而和我们这个宇宙的物理现实有关。按照今天的量子物理学对宇宙的理解，我们所生存的这个宇宙存在最小尺度限制！举一个例子帮助理解，就像手机屏幕一样，显现在屏幕上的每个物体，其最小值就是一个像素点，不能比这个更小。

图示：屏幕上的像素点越密集，图像就越精致。

但不管屏幕有多高清，屏幕上一个16个像素点长的棍子，你就只能对折4次，就把它折到只剩一个像素点，也就意味着到头了，而不是万世不竭。这是由构成手机的硬件限制的，与你有多努力技术水平高低都没有关系。

我们的宇宙也同样如此，只不过宇宙的像素点非常密集，以至于你在日常生活在无法感知到它是由许多点而不是无限多的点构成的。当数字太大的时候，有限和无限对人似乎就没有差异了，但在数学上有限和无限是完全不同的两个世界。

图示：有部电影叫像素大战，这部电影其实说中了我们这个宇宙的实质，我们这个物理世界本质上可以认为就是由像素构成的，只不过分辨率超级高，远远超过1902*1080。

来看看欧几里得平面几何的定义，就知道现实世界和数学世界的差异。

点：没有体积、大小、方向，零维

线：只有长度没有宽度，1维

面：即有长度也有宽度，2维

体：有长宽高属性，3维

那么圆的定义呢？

在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合。显然这些点的集合将构成一个圆的弧线部分。

那么圆周率和圆又是啥关系？

关系就是如果你想知道圆弧的长度，也就是圆的周长，你只需要知道圆周率等于多少，将它和圆的直径相乘就能得到圆的周长，而圆的直径很容易量出来。

为什么人类要知道圆的周长?

因为圆形物体很有用，比如轮子等。但要想造一个圆的东西出来，我们得知道需要用多少材料，人们很快发现，要造的圆越大，需要的材料越多，在尝试找出两者间的数学关系时，我们就会发现圆周率。最早的圆周率估值是3，后来才越来越精确，当精确到3.14时，已经足以应对日常生活所需了，可是研究圆的人，很想搞清楚理论上圆周率的精确值，他们为此奋斗了上千年的时间。

图示：中国数学家刘徽使用割圆术，将圆周率推算到小数点后第三位，第四位有误差。3.14159，但这个误差其实真的很小了。祖冲之继承了割圆术，将圆周率推算到3.1415926和3.1415927之间。

最后，再次强调，平面几何上完美的圆，在真实世界是不可能存在的。

而真实世界对于圆周率精度的需求到小数点后35位就基本够用了，这意味着即便是一个太阳系那么大的圆，你的计算误差也比原子还小百万倍呢。

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