债券表明，当收益率增加时，债券价格下降，并且价格曲线是凸的，这意味着收益率下降对价格的影响远远大于相同程度收益率增加对价格的影响。

债券性质：

（1）债券价格与收益率成反比：当收益率上升时，债券价格下跌；当收益率下降时，债券价格上升。

（2）债券的到期收益率的升高导致导致其价格变化的幅度小于等规模的收益率下降导致其价格变化的幅度。

（3）长期债券价格对利率变化的敏感性比短期债券更高。

（4）当债券期限增加时，债券价格对收益率变化的敏感性增加，但增速递减。换句话说，利率风险变动小于债券期限变动。

（5）利率风险与债券票面利率成反比。低票面利率债券的价格比高票面利率的价格对利率变化更敏感。

（6）债券价格对其收益变化的敏感性与当期出售的到期收益率成反比。

期限是利率风险的主要决定因素。但是，期限本身不足以测度利率的敏感性。

较高票面利率债券的价值的很大部分与息票紧密联系，而不是与最终支付的票面价值相联系。所以，”票息资产组合“倾向在较早、短期支付上赋予更大的权重，它导致票息债券的”有效期限“较短。这解释了第五个性质，即价格敏感性随票面利率上升而下降。

相似的逻辑可以解释第六个性质，价格敏感性随到期收益上升而下降。较高的收益降低了所有债券偿付的现值，对较远期偿付而言，情况更是如此。因此，在收益较高的情况下，债券价值的较大部分来自其较早的支付。较早的支付具有较低的有效期限和利率敏感性。于是，债券价格对收益率变化整体敏感性就较低。

麦考利久期（Macaulay's duration）等于债券每次息票或债券本金支付时间的加权平均。每次支付时间的权重应该与该次支付对债券价值的”重要性“相联系。实际上，每次支付时间的权重应该是这次支付在债券总价值中所占的比例。这个比例正好等于支付的现值除以债券价格。

权重与在时间所发生的现金流（标注为）有关，表示为：

式中，代表债券到期收益率。公式右边的分子代表在时间所发生现金流的现值，分母代表债券所有支付的值。权重和为，因为以到期收益率贴现的现金流总额等于债券价格。

用这些值来计算所有债券支付时间的加权平均，就可以得到麦考利久期公式，表示为：

久期是固定收益投资组合的关键概念原因：首先，它是资产组合有效平均期限的简单归纳统计；其次，它已经被证明是资产组合规避利率风险的一种基本工具。最后，久期是资产组合利率敏感性的一种测度。

债券价格的利率敏感性通常随着其债券期限的增加而增加。久期的测度能够量化这种关系。具体而言，当利率变化时，债券价格的变化率与其到期收益率的变化是相关的，可用公式表达如下：

债券价格变化率等于债券久期乘以的变化率。

实践中，将修正久期（modified duration）定义为，这里，于是

债券价格的变化率正好是修正久期和债券到期收益率变化的乘积。因为债券价格的变化率与修正久期成比例，所以修正久期可以用来测度债券在利率变化时的风险敞口。实际上，对于债券收益率的大幅度变化仅仅是近似有效的。只在考虑较小或局部的收益率变化时，这种近似才变得准确。

债券价格对市场利率变化的敏感性收到三个方面因素影响：到期时间、票面利率和到期收益率。

久期法则1：零息债券的久期等于它的到期时间。

久期法则2：到期时间不变，当息票率较高时，债券久期较短。

久期法则3：如果票面利率不变，债券久期通常会随着期限增加而增加。

久期法则4：保持其他因素都不变，当债券到期收益率较低时，息票债券的久期会较长。

久期法则5：终身年金的久期是：

终身年金，所以。

债券价值变化的百分比近似等于修正久期和债券收益率变化的乘积

表明价格变化百分比与债券收益率变化直接成比例。如果确实是这样，债券价格变化百分比作为它的收益变化的函数的图像将是一条直线，其斜率等。然而，债券价格和收益率之间不是线性关系。对于债券收益率发生的较小变化，久期法则可以给出良好近似的值。但是，对于较大的变化，它给出的数值就不太精确了。

久期近似值（直线）总是低于债券的价值：当收益率下降时，它低估了债券价格的上升程度，并且当收益率上升时，它高估了债券的下降程度。价格-收益率关系的形状是凸的。价格-收益率曲线的曲率被称为债券的凸性（convexity）。

将凸性量化为价格-收益率曲线斜率的变化率，并将其表示为债券价格的一部分。

债券凸性等于价格-收益率曲线的二阶导数（斜率的变化率）除以债券价格：。期限为年且每年付息一次的债券凸性公式为：

式中，是在日期支付给债券持有人的现金流；代表到期前的利息支付或是在到期日最后利息加上面值。

作为一个实用法则，大家可以将债券具有较高凸性视为在价格-收益率关系中曲率较高。不可赎回的债券的凸性是正的：收益率增加时，斜率变大（即这个负数的绝对值变小）。

凸性有助于我们在债券价格变化时提高久期的近似性。考虑凸性时，可以修正为：

等式右边的第一项与久期法则相同。第二项是对凸性的修正。注意，如果债券的凸性是正的，不管收益率是涨还是跌，第二项都是正的。把凸性考虑进来预测的债券价值总是更高。如果收益变化很小，久期法则给出的线性近似将是足够精确的。凸性在利率有一个很大的潜在变动时才会作为一个更重要的实际因素。

曲率大的债券价格在利率下降时的价格上升大于在利率上涨时的价格下跌。如果利率不稳定，这是一种有吸引力的不对称，可以增加债券的期望收益。对凸性较大的债券而言，投资者必须付出更高的价格，并接受更低的到期收益。

当利率下降时，可能的价格会有一个上限：债券价格不会超过其赎回价格。所以当利率下降时，债券受制于价格限制——它的价值被“压”低到赎回价格。在这一区域，价格-收益率曲线位于切线之下，此时称曲线具有负凸性。

注意在负凸性区域，价格-收益率曲线表现出不具吸引力的非对称性。对于同样的变化幅度，利率上升引起的价格下跌幅度大于利率下降引起的价格上涨幅度。这种非对称性来源于这样一个事实：债券发行人保留赎回债券的选择权。可赎回债券在出售时的初始价格低于其他类似的不可赎回的债券（也就是初始收益率较高）。

有“嵌入期权”的债券，用麦考利久期是很难分析的。因为这类期权的存在，债券提供的未来现金流变成不可知的。因为现金流是任意的，我们无法对未来现金流支付的时间做加权平均，而这对于计算麦考利久期是必要的。

惯例是计算有嵌入期权债券的有效久期（effective duration）。有效久期被定义为债券价格变化率与市场利率变化量之比：

重要区别：第一，注意到我们不用债券自身的到期收益率变化来计算有效久期（分母是而不是）。这是因为有嵌入期权的债券可能会被提前赎回，到期收益率通常是无关量。实际上，我们计算了利率期限结果变化引起的价格变化。第二，有效久期公式依赖于一种嵌入期权的定价方法。这意味着有效久期称为某些变量的函数，而这些变量与传统久期无关，例如利率的波动。相反，修正久期或者麦考利久期可以从确定的债券现金流和到期收益率中直接求出。

抵押贷款支持证券市场是赎回规定发挥重要性的最大市场。

抵押贷款支持证券最好看作可提前赎回的分期付款贷款的资产组合。

抵押贷款支持证券受负凸性的约束。

尽管抵押贷款支持证券在低利率时表现出负凸性，但它隐含的赎回价格（贷款本金余额）不是一个在其价值上不可突破的上限。

简单的抵押贷款支持证券引发了大量的抵押担保衍生品。例如，抵押担保债权（CMO）进一步把抵押贷款支持证券的现金流重新转向集中衍生证券，称为MBS的”拆分“。这些拆分可能用来向愿意承担该风险的投资者分配利率风险。

抵押资金池被看作现金流的来源，并根据投资者的偏好重新分配给不同的投资者。

消极债券管理者认为债券定价使合理的，并且试图控制他们持有的固定收益资产组合的风险。在固定资产市场中，投资者经常使用两种消极管理的策略：第一种是指数策略，试图复制既定债券指数业绩；第二种是我们熟悉的免疫策略，广泛应用于金融机构，例如保险公司和养老基金，它们被机构用来规避金融头寸的利率波动风险。

尽管指数策略和免疫策略在接受市场价格是合理的这一点上是相似的，但是在处理风险敞口方面，它们则非常不同。一个债券指数资产组合的风险-回报将和与之相联系的债券市场指数的风险-回报状况相当。相比较，免疫策略寻求建立一种几乎是零风险的资产组合，其中利率变动对公司的价值没有任何影响。

债券市场指数与股票市场指数相似。这一想法是创建一个能代表指数结构的资产组合，而该指数能够反映大市

债券市场有三个主要指数：巴克莱资本美国综合债券指数（之前为雷曼综合债券指数）、所罗门大市投资分级指数（现由花旗集团管理）和美林国内标准指数。这三个指数都是总收益的市场加权平均指数。这三种指数包括政府债券、公司债券、抵押支持债券和扬基债券（扬基债券是以美元面值发行的，在美国销售的由国外发行人发行的证券交易委员会注册债券）。

这些指数包含了数千只债券，这使得按它们的市值比重购买十分困难。此外，很多债券的交易量很小，这意味着很难找到它们的所有着，也很难以一个公平的市场价格购买它们。

再平衡问题。与股票指数相比，用于计算债券指数的证券不断变化。当它们变化时，管理者必须更新和再平衡资产组合来保证资产组合的构成和指数中所包含的债券相匹配。债券产生的大量利息收入必须进行在投资的事实，使得指数基金管理者的工作更为复杂。

作为替代，分层取样或分格方式常被使用。首先，债券市场被分为若干类别。用期限和发行人划分为简单二分发。但实际上，诸如债券票面利率和发行人的信用风险也会用于形成网格。于是，在每一网格下的债券被认为是同质的。其次，每个网格在全集中所占的百分比会被计算和报告。最后，资产组合管理者建立一种债券祖产组合，该资产组合中每一单元债券所占的比例与该单元在全部债券中所占的比例相匹配。通过这种方法，在期限、票面利率、信用风险和债券所属行业等方面，资产组合特征与指数特征相匹配，因而资产组合的业绩将与指数业绩相匹配。

个人投资者可以购买共同基金或者追踪大市场的ETF。

免疫（immunization）技术是指（银行、养老基金）这类投资者用来使整个金融资产免收利率风险影响的策略。

很多银行和储蓄机构在资产和负债的期限结构上存在天然的不匹配。

任何有未来固定债务的机构都可能认为免疫是合理的风险管理政策。

固定收益投资者面临两种相互抵消的利率风险类型：价格风险和再投资利率风险。利率提高会导致资本损失，但同时再投资收入会增加。如果资产组合的久期选择合适，这两种影响正好相互抵消。当这一资产组合的久期恰好与投资者的水平日期相等时，在水平日期投资基金的累积价值将不会受到利率波动的影响。因为水平日期等于资产组合的久期，所以价格风险和再投资风险正好相互抵消。

久期匹配平衡了利息支付累积价值（再投资利率风险）和债券销售价格（价格风险）之间的差异。也就是说，当利率降低时，利息的再投资收益低于利率不变时的情况，但是出售债券的收益增加抵消了损失。当利率上涨是，债券卖出价格下跌，但是利息收入增加能够弥补这一损失。

也可以根据现值而不是未来价值来分析免疫。

如果债券有了免疫，为什么基金里还会有剩余？答案是凸性。债券的凸性大于负债。于是，当利率变动很大时，债券价值大大超过了债务的现值。

再平衡（rebalancing）免疫资产组合。当利率和资产久期变化时，管理者必须再平衡资产组合使得资产和债务的久期一致。此外，即使利率不变，仅仅因为时间推移，资产久期也会发生变化。免疫是一种消极策略，这只是从不包括尝试识别低估证券的意义上说的。免疫策略管理者还是积极地更新和监控他们的头寸。

在资产买卖时，资产组合的再平衡包括交易费用，所以不能不断地再平衡。在实践中，需要在完美免疫（需要不断再平衡）和控制交易费用（规定频率较低的再平衡）之间建立恰当的妥协。

面值等于计划现金支出的零息债券。遵循现金流匹配（cash flow matching）的原则，我们就能自动地使资产组合免受利率风险的影响。因为债券得到的现金流和负债的支出正好抵消。

在多周期基础上的现金流匹配即是量身定做策略（dedication strategy）。在这种情况下，管理者选择零息债券或付息债券以使每一期的总现金流可以与一系列负债相匹配。量身定做策略的长处在于它是一个一劳永逸的消除利率风险的办法。一旦现金流达到匹配，就不需要再平衡。量身定做的资产组合可以提供必要的现金来支付公司的负债，不管利率变化的最终路径。

现金流匹配对债券选择严格要求。有时，现金流匹配是不可能的。

只有当收益率曲线是平坦的，所有支付均以同一利率折现时，久期的概念才是严格有效的。

久期匹配只有当收益率期限平行移动时才实现资产组合的利率免疫。

在通胀环境中，免疫可能不适合。基本上，免疫是一个名义上的概念，仅对名义上的负债有意义。用名义资产，譬如债券，来对一个会随着价格水平一起增长的负债进行利率免疫是没有意义的。

积极债券管理中有两种潜在价值来源。第一种是利率预测，试图预计固定收益市场范围的利率动向。第二种潜在利润的来源是在固定收益市场内识别错误的估值。

积极债券资产组合策略的分类法。把资产组合再平衡活动归为四种类型的债券互换之一。在前两类方式中，投资者一般认为在债券或部门之间的收益关系有暂时的错乱。当错乱消除后，低估债券就可以实现盈利。这段重新调整的时期称为市场疲软期。

（1）替代互换（substitution swap）是一种债券与几乎相同的替代品的交换。被替代的债券应该基本上有相同的票面利率、期限、质量、赎回条款、偿债基金条款等。如果人们相信市场中这两种债券价格有暂时失衡，而债券价格的这种不一致能带来获利的机会，那么这种互换方式就出现。

信用风险相同是一个重要条件。

（2）市场间价差互换（intermarket spread swap）是投资者认为在债券市场两个部门之间的利差暂时异常时出现的行为。

投资者必须仔细考虑利差的异常是否有恰当的理由。

（3）利率预期互换（rate anticipation swap）是盯住利率的预期。在这种情况下，如果投资者认为利率会下降，他们会互换成久期更长的债券。反之，当预计利率上升，他们互换成久期更短的债券。

（4）纯收益获得互换（pure yield pickup swap）的使用不是觉察到错误的估值，而是通过持有高收益债券增加回报的一种方式。当收益率曲线向上倾斜时，纯收益获得互换是指买入长期债券。这种行为被看作在高收益债券中尝试获得期限风险溢价。投资者愿意承受这种策略带来的利益风险。只要持有期收益率曲线不发生上移，投资者把短期债券换成长期债券就会获得更高的收益率。当然，如果收益率曲线上移，长期债券会遭受较大的资本损失。

第五种互换，称为税收互换（tax swap）。一种利用税收优势的互换。只要这种债券可以通过资本损失变现而获得纳税方面的好处就行。

利率预测的一种形式是水平分析（horizon analysis）。分析师使用这种方法选择特定持有期并预期该期末的收益率曲线。给定持有到期时债券的到期时间，它的收益可以从预测的收益率曲线和计算的期末价格中得出。然后，分析师把利息收入和预期的债券收益加起来得到持有期债券额总收益。