信道编码与交织在通信系统模型中的位置如下图所示。

信道编码的引入主要是为了解决数据在信道中传输时引入的误码问题。解决误码问题有两个办法： 1. 接收端在发现误码后，请求发送端对错误数据进行重传，称为后向纠错。ARQ就是一种后向纠错算法。

2. 发送端在发送数据时加入一定的冗余信息，以便在出现误码时接收端可以直接进行纠错，称为前向纠错。FEC就是一种前向纠错算法。

而我们今天的主要内容就是FEC：全称Forward Erro Correction。

在数据中增加冗余信息的最简单方法，就是将同一数据重复多次发送，这就是重复码。

例如：将每一个信息比特重复3次编码：0→000，1→111。接收端根据少数服从多数的原则进行译码。例如：发送端将0编码为000发送，如果接收到的是001、010、100，就判为0，发送端将1编码为111发送，如果接收到的是110、101、011，就判为1。

很明显，按照这种方法进行编译码，如果只错1位没问题，可以正确译码，如果错2位就不行了。例如：发送端将0编码为000发送，到了接收端变成了110，会被译码为1，译码出错。

重复码还有一个很大的问题是：传输效率很低。还是以上面的重复码为例，将同一个信息比特发送了3次，传输效率只有1/3。

为了提高传输效率，将k位信息比特分为一组，增加少量多余码元，共计n位，这就是分组码。

包含k位信息比特的n位分组码，一般记为（n，k）分组码，如下图所示。

分组码中的（n-k）位多余码元是用于检错和纠错的，一般称为监督码元或校验码元，它只监督本码组中的k个信息比特。

最简单的分组码就是奇偶校验码，其监督码元只有1位。

例如：（3，2）偶校验码，通过添加1位监督码元使整个码字中1的个数为偶数：

00→000

01→011

10→101

11→110

检错：收到1个码字，对所有位做异或，如果为0，正确；如果为1，错误。

纠错：奇偶校验码只能检测奇数个错误，不能纠正错误。

奇偶校验码只有1位监督码元，只能发现奇数个错误，但不能纠正错误。有没有码可以纠正错误呢？汉明码就可以检测2位错误，纠正1位错误。

以（7，4）汉明码为例，信息码元为4位，监督码元为3位，如下图所示。

监督码元和信息码元的监督关系如下图所示。 

a2是a6、a5、a4的偶校验码，因此：a6⊕a5⊕a4⊕a2=0

a1是a6、a5、a3的偶校验码，因此：a6⊕a5⊕a3⊕a1=0

a0是a6、a4、a3的偶校验码，因此：a6⊕a4⊕a3⊕a0=0 

遍历所有信息码元（4位），可以得到16个码字，如下表所示。

如果接收到的码字不在上表中，一定是出现了误码。如何判断是哪位出错了呢？

分别对3组偶校验码的所有位做异或，得到s2、s1、s0：

s2=a6⊕a5⊕a4⊕a2

s1=a6⊕a5⊕a3⊕a1

s0=a6⊕a4⊕a3⊕a0

根据计算结果s2s1s0，可以判断出是否出错，如果出错，具体是哪个码元出错，如下图所示。

如果没有错误，则s2s1s0=000。

如果信息码元出错：

a6错误，则：s2s1s0=111；

a5错误，则：s2s1s0=110；

a4错误，则：s2s1s0=101；

a3错误，则：s2s1s0=011。

如果监督码元错误：

a2错误，则：s2s1s0=100；

a1错误，则：s2s1s0=010；

a0错误，则：s2s1s0=001。

发现错误位后，只要将对应位取反：0改为1，1改为0，就完成了纠错。

从前面的描述来看，分组码编码器每次输入k个信息码元，输出n个码元，每次输出的码元只与本次输入的信息码元有关，而与之前输入的信息码元无关。接下来介绍的卷积码，其编码器输出除了与本次输入的信息码元有关外，还与之前输入的信息码元有关。

一般用（n，k，K）来表示卷积码，其中：

n：编码器每次输出的码元个数；

k：编码器每次输入的信息码元个数，一般k=1；

K：约束长度，在k=1的情况下，表示编码器的输出与本次及之前输入的K个码元相关。例如（2，1，3）卷积码：编码器每次输入1个码元，输出2个码元，这2个码元与本次及之前输入的3个码元相关。

（n，1，K）卷积码编码器一般使用（K-1）级移位寄存器来实现。例如：（2，1，3）卷积码编码器需要2级移位寄存器，如下图所示。

编码器输入：mi，输出：u1和u2。

u1=mi⊕mi-1⊕mi-2

u2=mi⊕mi-2

两个移位寄存器的初始状态为：00；假定输入序列为：11011，左侧数据先输入；寄存器的状态及编码器输出变化如下表所示。

以输入序列11011为例。通过编码器网格图，很容易得到输入序列11011编码得到的输出序列：11 01 01 00 01，如下图所示。

实线表示输入0，虚线表示输入1。实线和虚线旁边的数字表示编码器输出。

卷积码的译码一般采用最大似然译码。

假定信道的误码率为Pe，且Pe