推导N个串联BSC信道容量

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推导N个串联BSC信道容量

2024-07-09 17:45| 来源: 网络整理| 查看: 265

马尔可夫链

正交变换

N个相同的BSC信道串联，其转移概率矩阵为 $P=P^N$ 的证明

N个串联BSC信道容量的推导

马尔可夫链

状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。该过程要求具备无记忆的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。

正交变换

N个相同的BSC信道串联，其转移概率矩阵为 $P=P^N$ 的证明

我们先从两个信道的串联入手，构建其模型框图,如下图所示。

在给定Y之后，Z的取值与X无关，故 $P(c_k |a_i b_j )=P(c_k |b_j )$ 。

对于所有的i，j，k，X、Y、Z构成一个马尔科夫链。

$\therefore P(c_k |a_i )= \sum_{j=1}^{s}P(b_j c_k |a_i ) =\sum_{j=1}^{s}P(b_j |a_i )P(c_k |a_i b_j )= \sum_{j=1}^{s}P(b_j |a_i )P(c_k |b_j )$

故说明这两个信道串联的转移概率为信道1和信道2的转移概率矩阵之积。

由此可得推论，N个相同的BSC信道串联，其转移概率矩阵为 $P=P^N$

N个串联BSC信道容量的推导

$P_1=P_2=\cdot \cdot \cdot P_n=\bigl(\begin{smallmatrix} 1-\varepsilon &\varepsilon \\ \varepsilon & 1-\varepsilon \end{smallmatrix}\bigr)$

只要 $\varepsilon \neq 0$ ，当N 趋于无穷大时， $P_1^\infty =\lim_{N\to\infty}P_1^N=\bigl(\begin{smallmatrix} \frac{1}{2} &\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{smallmatrix}\bigr)$

总结：通过此次的证明，我们更加熟悉了串联信道的相关内容，同时了解到了马尔科夫链和正交变换，通过自己动手亲自证明对该结论印象更加深刻。

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