​本文主要参考了Matlab复现Ungerboeck的TCM经典论文 非常感谢原博主！ 其中信道容量相关公式的推导稍有难度，因此记录下来，方便后续回看。

无线通信系统中，信道容量是衡量信道传输性能的重要指标，它表示在给定的信道条件下，系统能够传输的最大有效信息量。

AWGN信道是一种常见的理想化信道模型，它的瞬时值服从高斯分布，功率谱密度服从均匀分布。加性高斯白噪声在理论和实际应用中都具有重要地位，因此常用于通信系统仿真。

首先，根据假设的前提建立系统模型，由基本的信道容量表达式进行理论推导，得到最终可用于仿真的公式。

然后进行蒙特卡洛仿真，得到不同调制阶数下，信道容量随信噪比变化的曲线。

最后对生成的仿真结果进行对比分析。

①系统输入离散，输出连续

②采用m-PAM编码方式

③AWGN信道

④假设信道输入的离散符号等概率出现

根据建立的系统模型，有：

z n = a n + w n z_n=a_n+w_n zn​=an​+wn​ （1）

其中， z n z_n zn​为接收端连续信号， a n a_n an​为发送端离散信号， w n w_n wn​为加性高斯白噪声。

根据信息论知识，信道容量表达式：

C = m a x { I ( Z ; A ) } = m a x { H ( Z ) − H ( Z ∣ A ) } C=max\left \{ I(Z;A) \right \}=max\left \{ H(Z)-H(Z|A) \right \} C=max{I(Z;A)}=max{H(Z)−H(Z∣A)} （2）

其中 I ( Z ; A ) I(Z;A) I(Z;A)为互信息量, H ( ∙ ) H(\bullet ) H(∙)为信息熵。 又

H ( Z ) = − ∑ p ( z ) l o g 2 p ( z ) H(Z)=-\sum p(z)log_2p(z) H(Z)=−∑p(z)log2​p(z) （3）

H ( Z ∣ A ) = − ∑ a ∑ z p ( a , z ) log ⁡ p ( z ∣ a ) H(Z\mid A)=-\sum_{a}\sum_{z}p(a,z)\log p(z\mid a) H(Z∣A)=−a∑​z∑​p(a,z)logp(z∣a) （4）

代入（2）式，并将z推广至连续情况，则有：

C = m a x { ∑ k = 0 N − 1 ∫ − ∞ ∞ Q ( k ) p ( z ∣ a k ) log ⁡ 2 p ( z ∣ a k ) d z − ∫ − ∞ ∞ p ( z ) log ⁡ 2 p ( z ) d z } C=max\{\mathrm{\sum_{k=0}^{N-1}\int_{-\infty}^\infty Q(k)p(z|a^k)\log_2p(z|a^k)dz-\int_{-\infty}^\infty p(z)\log_2p(z)dz}\} C=max{k=0∑N−1​∫−∞∞​Q(k)p(z∣ak)log2​p(z∣ak)dz−∫−∞∞​p(z)log2​p(z)dz}​（5）

其中， N N N为离散输入符号 a 0 , a 1 … a N − 1 {{a^0,a^1…a^{N-1}}} a0,a1…aN−1的个数。 Q ( k ) Q(k) Q(k) 是符号 a k a^k ak出现的概率。

因为，

p ( z ) = ∑ k = 0 N − 1   Q ( k ) p ( z ∣ a k ) p(z)=\sum_{k=0}^{N-1 }Q(k)p(z∣a^k) p(z)=k=0∑N−1 ​Q(k)p(z∣ak) （6）

并且假设输入信号等概率出现，可以省略上式中 Q ( k ) Q(k) Q(k)的最大值。

因此式（5）变形可为，

∑ k = 0 N − 1 Q ( k ) ∫ − ∞ ∞ p ( z ∣ a k ) log ⁡ 2 { p ( z ∣ a k ) ∑ i = 0 N − 1 Q ( i ) p ( z ∣ a i ) } d z \mathrm{\sum_{k=0}^{N-1}Q(k)\int_{-\infty}^\infty p(z|a^k)\log_2\left\{\frac{p(z|a^k)}{\sum_{i=0}^{N-1}Q(i)p(z|a^i)}\right\}dz} k=0∑N−1​Q(k)∫−∞∞​p(z∣ak)log2​{∑i=0N−1​Q(i)p(z∣ai)p(z∣ak)​}dz （7）

这就是最终得到的系统信道容量的理论公式。

为了进行蒙特卡洛仿真求得最终结果，需要将其转化为能够进行随机抽样的形式。根据概率论知识，有

E [ g ( x ) ] = ∫ g ( x ) f ( x ) d x E[g(x)]=∫g(x)f(x)dx E[g(x)]=∫g(x)f(x)dx （8）

其中， f ( x ) f(x) f(x)为 x x x的概率密度函数。

在式（8）中，令 F ( x ) = g ( x ) f ( x ) F(x)=g(x)f(x) F(x)=g(x)f(x)，则

∫ F ( x ) d x = E [ F ( x ) f ( x ) ] ∫F(x)dx=E[\frac{F(x)}{f(x)}] ∫F(x)dx=E[f(x)F(x)​] （9）

式（9）就是通过蒙特卡洛仿真求解积分的理论依据。在实际操作中，只需要进行一系列随机抽样，得到服从 f ( x ) f(x) f(x)分布的若干样本，就可以通过求期望的方式计算出积分值。

对于上述信道容量模型，根据AWGN信道的特点，可知条件概率 p ( z ∣ a k ) p(z|a^k) p(z∣ak)就是以 a k a^k ak为均值的高斯分布。故，取

f ( z ) = p ( z ∣ a k ) = 1 2 π σ e − ∣ z − a k ∣ 2 2 σ 2 f(z)=p(z|a^k)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{\left|z-a^k\right|^2}{2\sigma^2}} f(z)=p(z∣ak)=2π ​σ1​e−2σ2∣z−ak∣2​ （10）

则式（7）变形为，

C = ∑ k = 0 N − 1 Q ( k ) ⋅ E { log ⁡ 2 { p ( z ∣ a k ) ∑ i = 0 N − 1 Q ( i ) p ( z ∣ a i ) } } C=\sum_{k=0}^{N-1}Q(k)\cdot E\{\log_2\left\{\frac{p(z|a^k)}{\sum_{i=0}^{N-1}Q(i)p(z|a^i)}\right\}\} C=k=0∑N−1​Q(k)⋅E{log2​{∑i=0N−1​Q(i)p(z∣ai)p(z∣ak)​}}（11）

并且由于输入符号等概率出现，故 Q ( k ) = Q ( i ) = 1 / N Q(k)=Q(i)=1/N Q(k)=Q(i)=1/N. 再将（1）式代入，整理得：

= log ⁡ 2 ( N ) − 1 N ∑ k = 0 N − 1 E { log ⁡ 2 ∑ i = 0 N − 1 exp ⁡ [ − ∣ a k + w − a i ∣ 2 + ∣ w ∣ 2 2 σ 2 ] } =\log_2(\mathrm{N})-\frac{1}{\mathrm{N}}\sum_{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{N}-1}\mathrm{E}\left\{\log_2\sum_{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{N}-1}\exp\left[\frac{-|\mathrm{a}^\mathrm{k}+\mathrm{w}-\mathrm{a}^\mathrm{i}|^2+|\mathrm{w}|^2}{2\sigma^2}\right]\right\} =log2​(N)−N1​k=0∑N−1​E{log2​i=0∑N−1​exp[2σ2−∣ak+w−ai∣2+∣w∣2​]} （12）

式（12）中， a a a和 w w w都可以通过抽样得到，因此可以进行蒙特卡洛仿真，求得最终结果。

首先根据PAM的原理生成星座图。假设每个符号等概率出现，对于一共m个星座点，就可以得到它们的概率分布函数（CDF）。

然后生成服从(0-1)均匀分布的若干样本x，将x对应到CDF各个区间进行判决，映射成为星座点，也就得到了若干个𝑎值。

星座图中距离代表信号幅度，据此可以得到输入离散信号的平均功率𝑆，假设条件中，设置信噪比范围在-15-50dB，故而可根据式（13）求得噪声功率.

σ 2 = S S N R σ^2=\frac{S}{SNR} σ2=SNRS​ （13）

进而得到标准差𝜎，这样就能生成服从均值为0，标准差为𝜎的高斯白噪声𝑤。

在实际程序中，设定迭代次数为 每次取 个样本点，这样根据式（12）求得的C就是系统信道容量的估计值。画出信道容量在不同调制阶数、不同信噪比下的变化曲线，就可以对仿真结果进行分析，得到最终结论。

除了m=4, 8, 16, 32, 64的上述5条曲线，还另外绘制了根据香农公式得到的信道容量理论极限值，用于对比分析。 如图所示，可以看出，对于同一种调制方案，信道容量会随着信噪比的增加而增加，并最终趋向一个极限值；在信噪比相同的情况下，随着调制阶数m的增加，信道容量也在增加。

但无论信噪比和阶数m如何增大，最终信道容量依旧达不到香农公式所给出的理想值，这是因为对m-PAM来说，固定的符号数m限制了每个符号所能携带的最大比特数。所以尽管SNR还在继续增大，信道容量却不会无限增加，而是趋于一个极限值。

因此，在后续研究中，可以引入信道编码、采用多天线技术、复用技术等，来进一步提高信道容量，不断优化无线通信系统的性能。

相关蒙特卡洛仿真代码，可参考： Matlab复现Ungerboeck的TCM经典论文

⋆ \star ⋆不过上述文章给出的代码中，第60行似乎应该是

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