关于反三角函数及其导数 - 知乎

反三角函数是基本初等函数的重要组成部分，但似乎又是许多人常问的主体之一。为了方便理解和查询，本文总结了以下内容：

本文内容也可作为备忘资料以便查阅使用。

图1.三角函数及其对应三角形 ​

图2.反三角函数及其对应三角形

上述反三角函数的图象如下图所示：

图3.反三角函数的图象

在使用反三角函数时一定要注意其定义值和值域。

表1. 反三角函数的定义值及值域 

反函数求导公式在另一篇笔记里已经回顾过：关于反函数的高阶导数

反函数的导  数等于直接函数的导数的倒 数。

先给结论：

表2. 反三角函数的导数及其定义域

接下来依次证明：

证法I： 类似推导

证法II：由，于是

证法I：类似3，略。

证法II： 类似2，由，于是

证法I：类似5，略。

证法II： 类似2，由，于是

小结

本文简单总结了反三角函数的定义、其对应的三角函数、其定义域、值域，其后利用反函数求导法则完成了所有反函数求导公式的推导证明。不难看出上述推导过程其实都并不复杂（除反正割、反余割函数外），若能熟练使用各种三角函数变换技巧则能轻松完成所有证明。在实际使用三角函数时，图1,图2给出的图示十分有用，尤其在考虑积分换元时。另外，在使用反三角函数时，一定要明确各个三角函数的定义域及值域，这一点在第5个证明中体现得较为明显。若忽视这些细节，则十分容易出错。