第十三章:维纳过程和伊藤引理 |
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若某一变量的以一种不确定的方式随时间变化,我们称它服从某种随机过程(stochastic process)。随机过程可以分为离散时间和连续时间两类。而变量本身也可以分为连续变量和离散变量两类。 本章我们将导出股票价格的连续变量,连续时间的随机过程。 13.1 马尔科夫性质Markov Process 是一种特殊的随机过程。在该过程中,只有当前的值与未来的预测相关。 我们通常假设股票符合一个 Markov Process。即我们对股票未来价格的预测只和股票当前价格有关,与一周前,一年前的价格无关。 这也符合弱型市场有效性(the weak form of market efficiency)。它指出,一种股票的当前价格包含过去价格的所有信息。如果弱型市场有效性不成立,则分析师可以通过历史数据获得高于平均收益率的收益。事实上,现实中我们没有任何证据证明可以做到这一点。 13.2 连续时间随机过程假设一个变量服从 Markov Process。它现在的值是 10,在一年中的变化满足正态分布 假设在第 1 年中的变化是 显然, 同理,0.5 年中的变化的概率分布为 结论是,变量在任意时间段 均值部分很简单,可以稍微证明一下方差部分。 已知 将 由于 因此有: 如果我们令以上变化的期望 严格来讲,一个服从维纳过程的变量 变化量 变化量 目前我们讨论的维纳过程中,对 其中, 在一个很短的时间 因此,在 一个典型的广义维纳过程如下所示: 一个公司的现金服从广义维纳过程,drift 为 0.5 每季度,方差是 4.0 每季度。该公司需要多少初始现金才能保证 1 年后现金为负的概率小于 5%? 根据上面广义维纳过程的推论,假设其初始现金是 假设 因此问题转化为 查标准正态分布表得到 当广义维纳过程中的 在一个很短的时间 假设我们对股票的期望收益率为 如果我们不考虑任何扰动,即股票价格总按照期望上涨。则可以计算: 将 S 从 0 至 T 积分,可以得出: 现实中肯定是存在扰动的,我们一般假设扰动与股票价格成正比,假设比例是 即: 其离散时间模型为: 可以发现 其中: 分析以上股票价格变化过程与下面三个过程的区别,并解释为什么上述模型更好。
股票价格的预期增长量和变化量都应该与股票当时价格成正比。因此以上过程都不如下式的描述准确
若变量 x 符合以下伊藤过程: 那么关于 根据多元泰勒展开公式,对 由于 忽略 由于 因此,对于 就整个 由于 也写作:
对于远期合约,假设到期时间为 如我们在 12.3 介绍的,假设 其中期望收益为
而, 假设 假设 因此,波动率有如下关系:
若 假设股票价格 同样是伊藤引理的应用。令 带入 因此 |
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