一步一步理解欧拉公式

2024-07-14 13:30| 来源: 网络整理| 查看: 265

这篇文章不保证你看了后一定会明白欧拉公式，那么多数学专业的人深入浅出讲得比我好多了。但提供一种从不明白到明白经过的一些步骤。如果你按这些步骤一步一步去做，先搞清什么，再搞清什么（可以从别的文章/知乎去弄明白），可能最后就能看懂这个宇宙耍帅第一公式了 :) 本文不从泰勒展开角度来说明。

$e^{ix} = cosx + isinx$

当x = $\pi$ 时：

$e^{i\pi } +1 = 0$

一：搞清sin/cos的意义（可不只是三角形对边/斜边邻边/斜边哦，要从单位圆旋转的角度来理解）二：搞清弧度/角度的区别 ----这是为了理解，为什么 $\pi$ 会出现在这个公式里，为什么指数中的值是 $\pi$ 而不是其他值三：搞清e的特性 e的由来同时对数也绕不过的得配套弄明白 ----这是为了让你理解，为什么e会出现在这个公式里四：了解指数函数 ----理解复指数的基础五：搞清复数的意义 ----进而理解复指数

下面分别补充一点信息吧一：三角形sin/cos的意义 : 对边/斜边, 邻边/斜边为什么不够? 几年前我是从自问自答这个问题开始的：钝角三角形的钝角的sin值是哪条边比哪条边？如果你得到的答案是其补角的sin，这只能说是机械记忆，还没理解透彻。

二：关键是要搞清：一度是一份，一个圆并不是只能分成360份，它还可以被分成362份。（只是大家约定俗成分成360份）这样每一度的大小是不固定的，依赖于我们把圆分成多少份。而弧度的大小，就去除了这种量纲的影响，1弧度与数轴上的1的长度/大小相同，这样一个角有多大，就可以用数轴上的数（值为这个角的弧度）来表明了。用度数，做不到。欧拉公式如果不使用弧度来表示，则公式中，某个右上角，会有一个小圆圈! 而只有用弧度，才能像现在这样简洁。

三：这个要说的就太多了。先去搜那些讲得很好的文章/帖子吧。这里摘一点对我来说精华的句子：（感谢那么多前辈的分享） "指数得到数量，对数得到时间。 $e^{x}$ 表示输入时间得到数量 ln(x)表示输入数量计算达到么多数量所需要的时间"

"如何理解对数? 一个直观的解释是：对数指的是达到某一数量所需要的时间" " $e^{x}$ = 增长 = e^增长数率*时间 = $e^{rate*time}$ " rate一般是小于等于1的，但time可以大于1 "任何一个数字，都可以在某个时间通过某个增长率来达到！比如以 $e^{1}$ 的速度增长 9 = $e^{ln9}$ 这里面的ln9就是达到9这个数字的时间" " $e^{x}$ 也是这样，而且比球面更厉害无论如何降维， $e^{x}$ 总是老样子，一点都没变，就好像你切掉孙悟空的一部分，你以为是一小片肉，睁眼一看，居然是另一个孙悟空，而且一样大！这种自相似或全息性太匪夷所思、太好玩儿了！"

四：略

五：同样先去搜那些讲得很好的文章/帖子吧。这里摘一点对我来说精华的句子：（感谢那么多前辈的分享） "如果数 1 表示向右移动 1 米的话，那么数 -1 就可以表示向左移动 1 米，数 i 可以表示向前移动 1 米，数 -i 可以表示向后移动 1 米，-1+i 可以表示向左前方移动根号2 米。可见，虚数可以非常方便地描述二元事物" "将实数a乘以i，相当于将0 a 这个向量逆时针旋转90度, 所以乘以两个i就是旋转180度，也就是变成了-a，所以i的平方等于-1"

将一个实数加i 表示向实数轴垂直的方向也就是虚数轴方向前进1单位，加2i表示前进两个单位。乘以i呢，逆时针旋转90度; 乘i再乘i呢，逆时针旋转180度；i的3次方呢？逆时针旋转270度；i的更多次方呢? 圆周旋转开始了。。欧拉的远距离背影看到了吗? ---这句话可是我原创的哈哈

举个栗子： $e^{i}$ = $e^{i1}$ 次方就是这个图上的A点 1就是角theta的弧度值 $e^{i\pi/2}$ 就是 90度角即 $\pi /2$ 角 $e^{i\pi }$ 就是180度角即 $\pi$ 角是不是能看到大神背影的轮廓了?

复指数： " f(z)= $e^{z}$ 这个函数是可以定义在整个复数域上的，通过f(z)=f(x+iy)= $e^{x+iy}$ = $e^{x*(cosy+isiny)}$ 来定义，后面这个也叫欧拉公式。"

这个实数我们取1，也就是欧拉公式中的1. 1是这个单位圆的半径，是被旋转的数。旋转多少呢？旋转 $\pi$ （无单位，弧度数值就是旋转的量），也就是半圆了。现在1有了，旋转需要的i有了，为什么指数中是 $\pi$ 也来了。关键就差e了

虽然我之前知道了e的特性，但在很长一段时间内我都不明白，欧拉公式中的e为什么一定是e，换成 2 3 5就不行? 仍然是知乎这条跟小学解释欧拉公式的回答启发了我：怎么向小学生解释欧拉公式 e^(πi)+1=0？ - 知乎

借酒老师的图：

旋转，稍变通置换想一下，也就是一种向某个方向的增长。既然是增长，就有增长的速度了。如果按全速（单位时间增长率100%）增长/旋转 /跑路到 $\pi$ 的结果，就到了起始点半圆的另一端，1的对面-1.

所以（再借一下图），桔色的线是以e为底旋转的结果。如果底数换成2(或者说0.9e)，可能的结果是浅蓝色的线；加和的结果>0; 如果底数换成3(或者说1.1e)，可能的结果是深蓝色的线，加和的结果

【本文地址】

一步一步理解欧拉公式

一步一步理解欧拉公式

今日新闻

推荐新闻