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三角恒等变换【第1课时】两角和与差的正弦、余弦和正切公式【教学目标】【核心素养】1．了解两角差的余弦公式的推导过程．（重点）2．理解用向量法导出公式的主要步骤．（难点）3．熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．（重点、易混点）1．通过两角差的余弦公式的推导，培养数学运算素养．2．借助公式的变形、正用、逆用，提升逻辑推理素养．【教学过程】一、新知初探两角差的余弦公式公式cos（α－β）＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β适用条件公式中的角α，β都是任意角公式结构公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反二、初试身手1．sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝（）A．B．C．－D．－答案：B解析：∵sin14°＝cos76°，cos74°＝sin16°，∴原式＝cos76°cos16°＋sin76°sin16°＝cos（76°－16°）＝cos60°＝．2．cos（－15°）的值是（）A．B．C．D．答案：D解析：cos（－15°）＝cos15°＝cos（45°－30°）＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝．3．cos65°cos20°＋sin65°sin20°＝________．答案：解析：cos65°cos20°＋sin65°sin20°＝cos（65°－20°）＝cos45°＝．三、合作探究给角求值问题类型1例1：（1）cos的值为（）A．B．C．D．－（2）求下列各式的值：①cos75°cos15°－sin75°sin195°；②sin46°cos14°＋sin44°cos76°；③cos15°＋sin15°．答案：（1）Dcos＝cos＝－cos＝－cos＝－coscos－sinsin＝－×－×＝－．（2）解：①cos75°cos15°－sin75°sin195°＝cos75°cos15°－sin75°sin（180°＋15°）＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos（75°－15°）＝cos60°＝．②sin46°cos14°＋sin44°cos76°＝sin（90°－44°）cos14°＋sin44°cos（90°－14°）＝cos44°cos14°＋sin44°sin14°＝cos（44°－14°）＝cos30°＝．③cos15°＋sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos（60°－15°）＝cos45°＝．规律方法1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：（1）把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．（2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．2．两角差的余弦公式的结构特点：（1）同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦．（2）把所得的积相加．跟踪训练1．化简下列各式：（1）cos（θ＋21°）cos（θ－24°）＋sin（θ＋21°）sin（θ－24°）；（2）－sin167°·sin223°＋sin257°·sin313°．解：（1）原式＝cos[θ＋21°－（θ－24°）]＝cos45°＝．（2）原式＝－sin（180°－13°）sin（180°＋43°）＋sin（180°＋77°）·sin（360°－47°）＝sin13°sin43°＋sin77°sin47°＝sin13°sin43°＋cos13°cos43°＝cos（13°－43°）＝cos（－30°）＝．给值（式）求值问题类型2探究问题1．若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cosα的值？提示：cosα＝cos[（α＋β）－β]＝cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ．2．利用α－（α－β）＝β可得cosβ等于什么？提示：cosβ＝cos[α－（α－β）]＝cosαcos（α－β）＋sinαsin（α－β）．例2：（1）已知sinα－sinβ＝1－，cosα－cosβ＝，则cos（α－β）＝（　　）A．－B．－C．D．（2）已知sin＝，α∈，求cosα的值．思路点拨：（1）先将已知两式平方，再将所得两式相加，结合平方关系和公式C（α－β）求cos（α－β）．（2）由已知角＋α与所求角α的关系即α＝－寻找解题思路．答案：（1）D因为sinα－sinβ＝1－，所以sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝2，①因为cosα－cosβ＝，所以cos2α－2cosαcosβ＋cos2β＝2，②①，②两式相加得1－2cos（α－β）＋1＝1－＋＋所以－2cos（α－β）＝－所以cos（α－β）＝．（2）解：∵α∈，∴＋α∈，∴cos＝－＝－＝－．∵α＝－，cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝．母题探究1．将例2（2）的条件改为“sin＝，且解：∵sin＝，且∴∴cos＝－＝－，∴cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝．2．将例2（2）的条件改为“sin＝－，α∈”，求cos的值．解：∵＜α＜，∴－＜－α＜，又sin＝－＜0，∴－＜－α＜0，cos＝＝，∴cos＝cos＝cos＝cos＋sin＝×＋×＝－．规律方法给值求值问题的解题策略1．已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．2．由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有：①α＝（α－β）＋β；②③2α＝（α＋β）＋（α－β）；④2β＝（α＋β）－（α－β）．给值求角问题类型3例3：已知sin（π－α）＝，cos（α－β）＝，0＜β＜α＜，求角β的大小．思路点拨：→→解：因为sin（π－α）＝，所以sinα＝．因为0＜α＜，所以cosα＝＝．因为cos（α－β）＝，且0＜β＜α＜，所以0＜α－β＜，所以sin（α－β）＝＝，所以cosβ＝cos[α－（α－β）]＝cosαcos（α－β）＋sinαsin（α－β）＝×＋×＝．因为0＜β＜，所以β＝．规律方法已知三角函数值求角的解题步骤1．界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．2．求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．3．结合三角函数值及角的范围求角．提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．跟踪训练2．已知α，β均为锐角，且cosα＝，cosβ＝，求α－β的值．解：∵α，β均为锐角，∴sinα＝，sinβ＝，∴cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝．又sinα∴0故α－β＝－．四、课堂小结1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围（找一个单调区间）；③确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．五、当堂达标1．思考辨析（1）cos（60°－30°）＝cos60°－cos30°．（）（2）对于任意实数α，β，cos（α－β）＝cosα－cosβ都不成立．（）（3）对任意α，β∈R，cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．（）（4）cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝0．（）提示：（1）错误．cos（60°－30°）＝cos30°≠cos60°－cos30°．（2）错误．当α＝－45°，β＝45°时，cos（α－β）＝cos（－45°－45°）＝cos（－90°）＝0，cosα－cosβ＝cos（－45°）－cos45°＝0，此时cos（α－β）＝cosα－cosβ．（3）正确．结论为两角差的余弦公式．（4）正确．cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝cos（120°－30°）＝cos90°＝0．答案：（1）×（2）×（3）√（4）√2．已知α为锐角，β为第三象限角，且cosα＝，sinβ＝－，则cos（α－β）的值为（）A．－B．－C．D．答案：A解析：∵α为锐角，cosα＝，∴sinα＝＝，∵β为第三象限角，sinβ＝－，∴cosβ＝－＝－，∴cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝－．3．cos（α－35°）cos（α＋25°）＋sin（α－35°）sin（α＋25°）＝________．答案：解析：原式＝cos[（α－35°）－（α＋25°）]＝cos（－60°）＝cos60°＝．4．已知sinα＝－，sinβ＝，且180°＜α＜270°，90°＜β＜180°，求cos（α－β）的值．解：因为sinα＝－，180°＜α＜270°，所以cosα＝－．因为sinβ＝，90°＜β＜180°，所以cosβ＝－，所以cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝－＝．【第2课时】两角和与差的正弦、余弦公式【教学目标】【核心素养】1．掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式．2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．3．熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．1．借助公式的推导过程，培养数学运算素养．2．通过公式的灵活运用，提升逻辑推理素养．【教学过程】一、新知初探1．两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C（α－β）cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R两角和的余弦公式C（α＋β）cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R2．两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S（α＋β）sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R两角差的正弦S（α－β）sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R3．重要结论－辅助角公式y＝asinx＋bcosx＝sin（x＋θ）（a，b不同时为0），其中cosθ＝，sinθ＝．二、初试身手1．cos57°cos3°－sin57°sin3°的值为（）A．0B．C．D．cos54°答案：B解析：原式＝cos（57°＋3°）＝cos60°＝．2．sin245°sin125°＋sin155°sin35°的值是（）A．－B．－C．D．答案：B解析：∵sin245°＝sin（155°＋90°）＝cos155°，sin125°＝sin（90°＋35°）＝cos35°，∴原式＝cos155°cos35°＋sin155°sin35°＝cos（155°－35°）＝cos120°＝－．3．若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin＝______．答案：－解析：∵cosα＝－，α是第三象限的角，∴sinα＝－＝－，∴sin＝sinα－cosα＝×－×＝－．]三、合作探究类型1给角求值问题例1：（1）cos70°sin50°－cos200°sin40°的值为（）A．－B．－C．D．（2）若θ是第二象限角且sinθ＝，则cos（θ＋60°）＝________．（3）求值：（tan10°－）．答案：（1）D（2）－解析：（1）∵cos200°＝cos（180°＋20°）＝－cos20°＝－sin70°，sin40°＝cos50°，∴原式＝cos70°sin50°－（－sin70°）cos50°＝sin（50°＋70°）＝sin120°＝．（2）∵θ是第二象限角且sinθ＝，∴cosθ＝－＝－，∴cos（θ＋60°）＝cosθ－sinθ＝×－×＝－．]（3）解：原式＝（tan10°－tan60°）＝＝·＝－2．规律方法解决给角求值问题的策略（1）对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．（2）一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．跟踪训练1．化简求值：（1）；（2）sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）．解：（1）原式＝＝＝＝sin30°＝．（2）设α＝θ＋15°，则原式＝sin（α＋60°）＋cos（α＋30°）－cosα＝＋－cosα＝0．给值求值、求角问题类型2例2：（1）已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P的横坐标为，点Q的横坐标为，则cos∠POQ＝________．（2）已知cosα＝，sin（α－β）＝，且α，β∈．求：①cos（2α－β）的值；②β的值．思路点拨：（1）先由任意角三角函数的定义求∠xOP和∠xOQ的正弦、余弦值，再依据∠POQ＝∠xOP＋∠xOQ及两角和的余弦公式求值．（2）先求sinα，cos（α－β），依据2α－β＝α＋（α－β）求cos（2α－β）．依据β＝α－（α－β）求cosβ再求β．答案：（1）解析：由题意可得，cos∠xOP＝，所以sin∠xOP＝．再根据cos∠xOQ＝，可得sin∠xOQ＝－，所以cos∠POQ＝cos（∠xOP＋∠xOQ）＝cos∠xOP·cos∠xOQ－sin∠xOP·sin∠xOQ＝×－×＝．（2）解：①因为α，β∈，所以α－β∈，又sin（α－β）＝＞0，所以0＜α－β＜，所以sinα＝＝，cos（α－β）＝＝，cos（2α－β）＝cos[α＋（α－β）]＝cosαcos（α－β）－sinαsin（α－β）＝×－×＝．②cosβ＝cos[α－（α－β）]＝cosαcos（α－β）＋sinαsin（α－β）＝×＋×＝，又因为β∈，所以β＝．规律方法给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：1．当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．2．当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．跟踪训练2．已知锐角α，β满足cosα＝，sin（α－β）＝－，求sinβ的值．解：因为α，β是锐角，即0＜α＜，0＜β＜，所以－＜α－β＜，因为sin（α－β）＝－＜0，所以cos（α－β）＝，因为cosα＝，所以sinα＝，所以sinβ＝sin[α－（α－β）]＝sinαcos（α－β）－cosαsin（α－β）＝×＋×＝．辅助角公式的应用类型3探究问题1．能否将函数y＝sinx＋cosx（x∈R）化为y＝Asin（x＋φ）的形式？提示：能．y＝sinx＋cosx＝sin．2．如何推导asinx＋bcosx＝sin（x＋φ）公式．提示：asinx＋bcosx＝，令cosφ＝，sinφ＝，则asinx＋bcosx＝（sinxcosφ＋cosxsinφ）＝sin（x＋φ）（其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tanφ＝确定，或由sinφ＝和cosφ＝共同确定）．例3：（1）sin－cos＝________．（2）已知f（x）＝sinx－cosx，求函数f（x）的周期，值域，单调递增区间．思路点拨：解答此类问题的关键是巧妙构建公式C（α－β）、C（α＋β）、S（α－β）、S（α＋β）的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值．答案：（1）－解析：原式＝2．法一：（化正弦）原式＝2＝2＝2sin＝2sin＝－．法二：（化余弦）原式＝2＝－2＝－2cos＝－2cos＝－．]（2）解：f（x）＝sinx－cosx＝2＝2＝2sin，∴T＝＝2π，值域[－2，2]．由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，得递增区间，k∈Z．母题探究1．若将例3（2）中函数改为f（x）＝－sinx＋cosx，其他条件不变如何解答？解：f（x）＝－sinx＋cosx＝2cosx－sinx＝2cos，∴T＝2π，值域为[－2，2]，由－π＋2kπ≤x＋≤2kπ，得递增区间，k∈Z．2．若将例3（2）中函数改为f（x）＝msinx＋mcosx，其中m＞0，其他条件不变，应如何解答？解：f（x）＝msinx＋mcosx＝msin，∴T＝2π，值域为[－m，m]，由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，得递增区间，k∈Z．规律方法辅助角公式及其运用1．公式形式：公式asinα＋bcosα＝sin（α＋φ）或asinα＋bcosα＝cos（α－φ）将形如asinα＋bcosα（a，b）不同时为零?的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．2．形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误．四、课堂小结1．两角和与差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin＝sin·cosα－cossinα＝－cosα．2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sinβcos（α＋β）－cosβsin（α＋β）时，不要将cos（α＋β）和sin（α＋β）展开，而应采用整体思想，作如下变形：sinβcos（α＋β）－cosβsin（α＋β）＝sin[β－（α＋β）]＝sin（－α）＝－sinα．3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．五、当堂达标1．思考辨析（1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．（）（2）存在α，β∈R，使得sin（α－β）＝sinα－sinβ成立．（）（3）对于任意α，β∈R，sin（α＋β）＝sinα＋sinβ都不成立．（）（4）sin54°cos24°－sin36°sin24°＝sin30°．（）提示：（1）正确．根据公式的推导过程可得．（2）正确．当α＝45°，β＝0°时，sin（α－β）＝sinα－sinβ．（3）错误．当α＝30°，β＝－30°时，sin（α＋β）＝sinα＋sinβ成立．（4）正确．因为sin54°cos24°－sin36°sin24°＝sin54°cos24°－cos54°sin24°＝sin（54°－24°）＝sin30°，故原式正确．答案：（1）√（2）√（3）×（4）√2．化简cosx－sinx等于（）A．2sinB．2cosC．2sinD．2cos答案：D解析：cosx－sinx＝2＝2＝2cos．3．cosβcos（α－β）－sinβsin（α－β）＝________．答案：cosα解析：cosβcos（α－β）－sinβsin（α－β）＝cos[β＋（α－β）]＝cosα．4．已知α，β均为锐角，sinα＝，cosβ＝，求α－β．解：∵α，β均为锐角，sinα＝，cosβ＝，∴sinβ＝，cosα＝．∵sinα∴sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×－×＝－，∴α－β＝－．【第3课时】两角和与差的正切公式【教学目标】【核心素养】1．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．（重点）3．熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．（难点）1．通过利用公式进行化简、证明等问题，培养逻辑推理素养．2．借助公式进行求值，提升数学运算素养．【教学过程】一、新知初探两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切T（α＋β）tan（α＋β）＝α，β，α＋β≠kπ＋（k∈Z）且tanα·tanβ≠1两角差的正切T（α－β）tan（α－β）＝α，β，α－β≠kπ＋（k∈Z）且tanα·tanβ≠－1二、初试身手1．已知tanα＋tanβ＝2，tan（α＋β）＝4，则tanαtanβ等于（）A．2B．1C．D．4答案：C解析：∵tan（α＋β）＝＝4，且tanα＋tanβ＝2，∴＝4，解得tanαtanβ＝．2．求值：tan＝________．答案：－2＋解析：tan＝－tan＝－tan＝－＝－＝－2＋．3．已知tanα＝2，则tan＝________．答案：－3解析：tan＝＝＝－3．4．＝________．答案：解析：原式＝tan（75°－15°）＝tan60°＝．三、合作探究两角和与差的正切公式的正用类型1例1：（1）已知α，β均为锐角，tanα＝，tanβ＝，则α＋β＝________．（2）如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________．思路点拨：（1）先用公式T（α＋β）求tan（α＋β），再求α＋β．（2）先求∠CAD，∠BAD的正切值，再依据tan∠BAC＝tan（∠CAD－∠BAD）求值．答案：（1）（2）解析：（1）∵tanα＝，tanβ＝，∴tan（α＋β）＝＝＝1．∵α，β均为锐角，∴α＋β∈（0，π），∴α＋β＝．（2）∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，∴tan∠BAD＝＝，tan∠CAD＝＝，tan∠BAC＝tan（∠CAD－∠BAD）＝＝＝．规律方法1．公式T（α±β）的结构特征和符号规律：（1）结构特征：公式T（α±β）的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．（2）符号规律：分子同，分母反．2．利用公式T（α＋β）求角的步骤：（1）计算待求角的正切值．（2）缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．（3）根据角的范围及三角函数值确定角．跟踪训练1．（1）已知tanα－＝，则tanα＝________．（2）已知角α，β均为锐角，且cosα＝，tan（α－β）＝－，则tanβ＝________．答案：（1）（2）3解析：（1）因为tanα－＝，所以tanα＝tan＝＝＝．（2）因为cosα＝，α为锐角，所以sinα＝，tanα＝，所以tanβ＝tan[α－（α－β）]＝＝＝3．两角和与差的正切公式的逆用类型2例2：（1）＝________．（2）＝________．思路点拨：注意特殊角的正切值和公式T（α±β）的结构，适当变形后逆用公式求值．答案：（1）（2）－1解析：（1）原式＝＝tan（45°＋15°）＝tan60°＝．（2）原式＝＝＝tan（30°－75°）＝－tan45°＝－1．规律方法公式T?α±β?的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．如要特别注意跟踪训练2．已知α、β均为锐角，且sin2α＝2sin2β，则（）A．tan（α＋β）＝3tan（α－β）B．tan（α＋β）＝2tan（α－β）C．3tan（α＋β）＝tan（α－β）D．3tan（α＋β）＝2tan（α－β）答案：A解析：∵sin2α＝2sin2β，∴sin[（α＋β）＋（α－β）]＝2sin[（α＋β）－（α－β）]，∴sin（α＋β）cos（α－β）＋cos（α＋β）sin（α－β）＝2sin（α＋β）cos（α－β）－2cos（α＋β）sin（α－β），∴sin（α＋β）cos（α－β）＝3cos（α＋β）sin（α－β），两边同除以cos（α－β）cos（α＋β）得tan（α＋β）＝3tan（α－β）．两角和与差的正切公式的变形运用类型3探究问题1．两角和与差的正切公式揭示了tanαtanβ与哪些式子的关系？提示：揭示了tanαtanβ与tanα＋tanβ，tanαtanβ与tanα－tanβ之间的关系．2．若tanα、tanβ是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，b2－4ac≥0）的两个根，则如何用a、b、c表示tan（α＋β）？提示：tan（α＋β）＝＝＝－．例3：（1）tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝________．（2）已知△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，且tanA＋tanB＝tanAtanB－1，试判断△ABC的形状．思路点拨：（1）看到tan67°－tan22°与tan67°tan22°想到将tan（67°－22°）展开变形，寻找解题思路．（2）先由关于角A，B的等式求出tan（A＋B）得角A＋B，然后求角C并代入关于角B，C的等式求角B，最后求角A，判断△ABC的形状．答案：（1）1∵tan67°－tan22°＝tan（67°－22°）（1＋tan67°tan22°）＝tan45°（1＋tan67°tan22°）＝1＋tan67°tan22°，∴tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝1＋tan67°tan22°－tan67°tan22°＝1．]（2）解：∵tanA＋tanB＝tanAtanB－1，∴（tanA＋tanB）＝tanAtanB－1，∴＝－，∴tan（A＋B）＝－．又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，∴C＝．∵tanB＋tanC＋tanBtanC＝，tanC＝，∴tanB＋＋tanB＝，tanB＝，∴B＝，∴A＝，∴△ABC为等腰钝角三角形．母题探究1．将例3（1）中的角同时增加1°结果又如何？解：∵tan45°＝tan（68°－23°）＝，∴1＋tan68°tan23°＝tan68°－tan23°，即tan68°－tan23°－tan68°tan23°＝1．2．能否为例3（1）和探究1归纳出一个一般结论？若能，试证明．解：一般结论：若α－β＝45°（α，β≠k×180°＋90°，k∈Z），则tanα－tanβ－tanαtanβ＝1．证明：∵tan45°＝tan（α－β）＝，∴1＋tanαtanβ＝tanα－tanβ，即tanα－tanβ－tanαtanβ＝1．规律方法1．整体意识：若化简的式子中出现了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”两个整体，常考虑tan（α±β）的变形公式．2．熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：（1）tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tanαtanβ）；（2）1－tanαtanβ＝；（3）tanα＋tanβ＋tanα·tanβ·tan（α＋β）＝tan（α＋β）；（4）tanα·tanβ＝1－．提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．四、课堂小结1．公式T（α±β）与S（α±β）、C（α±β）的一个重要区别，就是前者角α、β、α±β都不能取kπ＋（k∈Z），而后两者α、β∈R，应用时要特别注意这一点．2．注意公式的变形应用．如：tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tanαtanβ），1－tanαtanβ＝，tanα－tanβ＝tan（α－β）（1＋tanαtanβ），1＋tanαtanβ＝等．五、当堂达标1．思考辨析（1）存在α，β∈R，使tan（α＋β）＝tanα＋tanβ成立．（）（2）对任意α，β∈R，tan（α＋β）＝都成立．（）（3）tan（α＋β）＝等价于tanα＋tanβ＝tan（α＋β）·（1－tanαtanβ）．（）提示：（1）√．当α＝0，β＝时，tan（α＋β）＝tan＝tan0＋tan，但一般情况下不成立．（2）×．两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋（k∈Z）．（3）√．当α≠kπ＋（k∈Z），β≠kπ＋（k∈Z），α＋β≠kπ＋（k∈Z）时，由前一个式子两边同乘以1－tanαtanβ可得后一个式子．答案：（1）√（2）×（3）√2．若tanβ＝3，tan（α－β）＝－2，则tanα＝（）A．B．－C．1D．－1答案：A解析：tanα＝tan[（α－β）＋β]＝＝＝．3．若tan＝3，则tanα的值为________．答案：解析：tanα＝tan＝＝＝＝＝．4．已知cosα＝，cosβ＝，其中α，β都是锐角，求tan（α＋β）的值．解：因为α，β都是锐角，所以sinα＝＝，sinβ＝＝，tanα＝＝2，tanβ＝＝，所以tan（α＋β）＝＝－2．【第4课时】二倍角的正弦、余弦、正切公式【教学目标】【核心素养】1．能利用两角和的正、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式（重点）2．能利用二倍角公式进行化简、求值、证明．（难点）3．熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用．（易错点）1．通过公式的推导，培养逻辑推理素养．2．借助运算求值，提升数学运算素养．【教学过程】一、新知初探1．二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2αsin2α＝2sinαcosαC2αcos2α＝cos2α－sin2αT2αtan2α＝2．余弦的二倍角公式的变形3．正弦的二倍角公式的变形（1）sinαcosα＝sin2α，cosα＝．（2）1±sin2α＝（sinα±cosα）2．二、初试身手1．下列各式中，值为的是（）A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°D．sin215°＋cos215°答案：B解析：2sin15°cos15°＝sin30°＝；cos215°－sin215°＝cos30°＝；2sin215°＝1－cos30°＝1－；sin215°＋cos215°＝1，故选B．2．sin15°cos15°＝________．答案：解析：sin15°cos15°＝×2sin15°cos15°＝sin30°＝．3．－cos2＝________．答案：－解析：－cos2＝－＝－－×＝－．4．若tanθ＝2则tan2θ＝________．答案：－解析：tan2θ＝＝＝－．三、合作探究给角求值类型1例1：（1）coscoscos的值为（）A．B．－C．D．－（2）求下列各式的值：①cos415°－sin415°；②1－2sin275°；③；④－．答案：（1）D∵cos＝－cos，cos＝－cos，∴coscoscos＝coscoscos＝＝＝＝＝－．（2）解：①cos415°－sin415°＝（cos215°－sin215°）（cos215°＋sin215°）＝cos215°－sin215°＝cos30°＝．②1－2sin275°＝1－（1－cos150°）＝cos150°＝－cos30°＝－．③＝2×＝2×＝－2．④－＝＝＝＝＝4．规律方法对于给角求值问题，一般有两类：1．直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．2．若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．跟踪训练1．求下列各式的值（1）cos72°cos36°；（2）＋．解：（1）cos36°cos72°＝＝＝＝．（2）原式＝＝＝＝＝4．给值求值、求角问题类型2例2：（1）已知cos＝，≤α＜，求cos的值；（2）已知α∈，且sin2α＝sin，求α．思路点拨：依据以下角的关系设计解题思路求解：（1）α＋与2α＋，α－与2α－具有2倍关系，用二倍角公式联系；（2）2α＋与2α差，用诱导公式联系．解：（1）∵≤α＜，∴≤α＋＜．∵cos＞0，∴＜α＋＜，∴sin＝－＝－＝－，∴cos2α＝sin＝2sincos＝2××＝－，sin2α＝－cos＝1－2cos2＝1－2×2＝，∴cos＝cos2α－sin2α＝×－×＝－．（2）∵sin2α＝－cos＝－＝1－2cos2，sin＝－sin＝－cos＝－cos，∴原式可化为1－2cos2＝－cos，解得cos＝1或cos＝－．∵α∈，∴α＋∈，故α＋＝0或α＋＝，即α＝－或α＝．母题探究1．在例2（1）的条件下，求sin4α的值．解：由例2（1）解析知sin4α＝2sin2αcos2α＝2××＝－．2．将例2（1）的条件改为sin＝，0＜x＜，求的值．解：∵0＜x＜，∴－x∈．又sin＝，∴cos＝．又cos2x＝sin＝2sincos＝2××＝，cos＝sin＝sin＝，∴原式＝＝．规律方法解决条件求值问题的方法1．有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．2．当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．cos2x＝类似的变换还有：cos2x＝，化简证明问题类型3探究问题1．解答化简证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情况，通常要如何处理？提示：通常要切化弦后再进行变形．2．证明三角恒等式时，通常的证明方向是什么？提示：由复杂一侧向简单一侧推导．例3：（1）化简：＋＝________．（2）证明：＝－4．思路点拨：（1）通分变形．（2）→→（1）－tan2θ原式＝＝＝－＝－tan2θ．]（2）证明：左边＝＝＝＝＝－4＝右边，所以原等式成立．规律方法证明三角恒等式的原则与步骤1．观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．2．证明恒等式的一般步骤：①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．跟踪训练2．求证：（1）cos2（A＋B）－sin2（A－B）＝cos2Acos2B；（2）cos2θ（1－tan2θ）＝cos2θ．证明：（1）左边＝－＝＝（cos2Acos2B－sin2Asin2B＋cos2Acos2B＋sin2Asin2B）＝cos2Acos2B＝右边，∴等式成立．（2）法一：左边＝cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ＝右边．法二：右边＝cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ＝cos2θ（1－tan2θ）＝左边．四、课堂小结1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝（n∈N）．2．二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角余弦公式的常用形式：①1＋cos2α＝2cos2α，②cos2α＝，③1－cos2α＝2sin2α，④sin2α＝．五、当堂达标1．思考辨析（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．（）（2）存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．（）（3）对于任意的角α，cos2α＝2cosα都不成立．（）提示：（1）×．二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠＋kπ（k∈Z）且α≠±＋kπ（k∈Z），故此说法错误．（2）√．当α＝kπ（k∈Z）时，sin2α＝2sinα．（3）×．当cosα＝时，cos2α＝2cosα．答案：（1）×（2）√（3）×2．已知函数f（x）＝2cos2x－sin2x＋2，则（）A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4答案：B解析：易知f（x）＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝（2cos2x－1）＋＋1＝cos2x＋，则f（x）的最小正周期为π，当x＝kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值，最大值为4．3．设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是________．答案：解析：∵sin2α＝－sinα，∴2sinαcosα＝－sinα．由α∈知sinα≠0，∴cosα＝－，∴α＝，∴tan2α＝tan＝tan＝．4．已知＜α＜π，cosα＝－．（1）求tanα的值；（2）求sin2α＋cos2α的值．解：（1）因为cosα＝－，＜α＜π，所以sinα＝，所以tanα＝＝－．（2）因为sin2α＝2sinαcosα＝－，cos2α＝2cos2α－1＝，所以sin2α＋cos2α＝－＋＝－．简单的三角恒等变换【教学目标】【核心素养】1．能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差的三角函数公式导出积化和差、和差化积公式．体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．（重点）2．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．（难点、易错点）1．通过公式的推导，培养逻辑推理素养．2．借助三角恒等变换的简单应用，提升数学运算素养．【教学过程】一、新知初探半角公式（1）sin＝±，（2）cos＝±，（3）tan＝±，（4）tan＝＝＝，tan＝＝＝．二、初试身手1．已知180°＜α＜360°，则cos的值等于（）A．－B．C．－D．答案：C解析：∵180°＜α＜360°，∴90°＜＜180°，又cos2＝，∴cosα＝－．2．已知cosα＝，α∈，则sin等于（）A．B．－C．D．答案：A解析：由题知∈，∴sin>0，sin＝＝．3．已知2π＜θ＜4π，且sinθ＝－，cosθ＜0，则tan的值等于________．答案：－3解析：由sinθ＝－，cosθ＜0得cosθ＝－，∴tan＝＝＝＝＝－3．三、合作探究化简求值问题类型1例1：（1）设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin等于（）A．B．C．－D．－（2）已知π＋．思路点拨：（1）先确定的范围，再由sin2＝得算式求值．（2）1＋cosθ＝2cos2，1－cosα＝2sin2，去根号，确定的范围，化简．答案：（1）D∵5π＜θ＜6π，∴∈，∈．又cos＝a，∴sin＝－＝－．（2）解：原式＝＋．∵π＜α＜，∴＜＜，∴cos＜0，sin＞0，∴原式＝＋＝－＋＝－cos．规律方法1．化简问题中的“三变”（1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．（2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．（3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．2．利用半角公式求值的思路（1）看角：看已知角与待求角的2倍关系．（2）明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．（3）选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2＝，cos2＝计算．（4）下结论：结合（2）求值．提醒：已知cosα的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．跟踪训练1．已知cosθ＝－，且180°解：法一：∵180°∴tan＝－＝－＝－2．法二：∵180°∴sinθ＝－＝－＝－，∴tan＝＝＝－2．三角恒等式的证明类型2例2：求证：＝sin2α．思路点拨：法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；法二：cos2α不变，直接用二倍角正切公式变形．证明：法一：用正弦、余弦公式．左边＝＝＝＝＝sincoscosα＝sinαcosα＝sin2α＝右边，∴原式成立．法二：用正切公式．左边＝＝cos2α·＝cos2α·tanα＝cosαsinα＝sin2α＝右边，∴原式成立．规律方法三角恒等式证明的常用方法1．执因索果法：证明的形式一般化繁为简；2．左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；3．拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；4．比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；5．分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．跟踪训练2．求证：＝．证明：左边＝＝＝＝＝＝＝右边．所以原等式成立．恒等变换与三角函数图象性质的综合类型3例3：已知函数f（x）＝cos－2sinxcosx．（1）求f（x）的最小正周期．（2）求证：当x∈时，f（x）≥－．思路点拨：→→→解：（1）f（x）＝cos－2sinxcosx＝cos2x＋sin2x－sin2x＝sin2x＋cos2x＝sin，所以T＝＝π．（2）证明：令t＝2x＋，因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，因为y＝sint在上单调递增，在上单调递减，所以f（x）≥sin＝－，得证．规律方法三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asinωx＋bcosωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k?或y＝Acos（ωx＋φ）＋k?的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质．跟踪训练3．已知函数f（x）＝sin＋2sin2（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求使函数f（x）取得最大值的x的集合．解：（1）∵f（x）＝sin＋2sin2＝sin＋1－cos＝2＋1＝2sin＋1＝2sin＋1，∴T＝＝π．（2）当f（x）取得最大值时，sin＝1，有2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋（k∈Z），∴所求x的集合为．三角函数在实际问题中的应用类型4探究问题1．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响．2．建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？提示：化成y＝Asin（ωx＋φ）＋b的形式．例4：如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？思路点拨：→→解：设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsinα＋Rcosα＝R（sinα＋cosα）＋R＝Rsin＋R．∵0∴l的最大值为R＋R＝（＋1）R，此时，α＋＝，即α＝，即当α＝时，△OAB的周长最大．母题探究1．在例4条件下，求长方形面积的最大值．解：如图所示，设∠AOB＝α，则AB＝Rsinα，OA＝Rcosα．设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，∴S＝2Rcosα·Rsinα＝R2·2sinαcosα＝R2sin2α．∵α∈，∴2α∈（0，π）．因此，当2α＝，即α＝时，Smax＝R2．这时点A，D到点O的距离为R，矩形ABCD的面积最大值为R2．2．若例4中的木料改为圆心角为的扇形，并将此木料截成矩形，（如图所示），试求此矩形面积的最大值．[解]　如图，作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连接OE，设∠MOE＝α，α∈，在Rt△MOE中，ME＝Rsinα，OM＝Rcosα，在Rt△ONH中，＝tan，得ON＝NH＝Rsinα，则MN＝OM－ON＝R（cosα－sinα），设矩形EFGH的面积为S，则S＝2ME·MN＝2R2sinα（cosα－sinα）＝R2（sin2α＋cos2α－）＝2R2sin－R2，由α∈，则＜2α＋＜，所以当2α＋＝，即α＝时，Smax＝（2－）R2．规律方法应用三角函数解实际问题的方法及注意事项1．方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解．2．注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系．②注意实际问题中变量的范围．③重视三角函数有界性的影响．提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误．四、课堂小结1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．研究形如f（x）＝asinx＋bcosx的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a、b应熟练掌握．例如sinx±cosx＝sin；sinx±cosx＝2sin等．五、当堂达标1．思考辨析（1）cos＝．（）（2）存在α∈R，使得cos＝cosα．（）（3）对于任意α∈R，sin＝sinα都不成立．（）（4）若α是第一象限角，则tan＝．（）提示：（1）×．只有当－＋2kπ≤≤＋2kπ（k∈Z），即－π＋4kπ≤α≤π＋4kπ（k∈Z）时，cos＝．（2）√．当cosα＝－＋1时，上式成立，但一般情况下不成立．（3）×．当α＝2kπ（k∈Z）时，上式成立，但一般情况下不成立．（4）√．若α是第一象限角，则是第一、三象限角，此时tan＝成立．[答案]　（1）×　（2）√　（3）×　（4）√2．若f（x）＝cosx－sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π答案：C解析：f（x）＝cosx－sinx＝cosx＋．当x∈[0，a]时，x＋∈，a＋，所以结合题意可知，a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值是．故选C．3．函数f（x）＝sin2x的最小正周期为________．答案：π解析：因为f（x）＝sin2x＝，所以f（x）的最小正周期T＝＝π．4．北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，求cos2θ．解：由题意，5cosθ－5sinθ＝1，θ∈，所以cosθ－sinθ＝．由（cosθ＋sinθ）2＋（cosθ－sinθ）2＝2，所以cosθ＋sinθ＝，所以cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝（cosθ＋sinθ）（cosθ－sinθ）＝．37/45

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