【三角学】三角恒等变换公式推导

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【三角学】三角恒等变换公式推导

2024-07-02 05:37| 来源: 网络整理| 查看: 265

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三角恒等变换是高中的一个重要的知识，我是在预习时通过自己的方法推导了一遍，个人认为，这样可以加深对其的理解。本文同时也作为一篇学习笔记。

和与差角公式推导差角的余弦公式推导

差角的余弦公式是三角恒等变换的一系列公式的基础，推导出它，就为接下来的推导铺平了道路。这里使用向量，而不是普通的几何方法。以下为推导过程。

设在平面直角坐标系$xOy$中，有角$\alpha , \beta$，其始边均与$Ox$重合。设$\overrightarrow{OA}=(\cos\alpha,\sin\alpha),\overrightarrow{OB}=(\cos\beta,\sin\beta),|\theta|=$ $\forall \alpha,\beta\in \mathbb{R},\alpha=\beta+\theta+2k\pi$。所以对于任意的$\alpha$和$\beta$，都有$\alpha-\beta=2k\pi+\theta,k\in\mathbb{Z}$。所以

\[\cos(\alpha-\beta)=\cos(2k\pi+\theta)=\cos\theta,k\in\mathbb{Z} \]

所以

\[\begin{align} \cos(\alpha-\beta)&=\frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|} \\ &=\frac{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}{(\cos^{2} \alpha+\sin^{2} \alpha)(\cos^{2} \beta+\sin^{2} \beta)} \\ &= \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \end{align} \]

即

\[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \]

和角的余弦公式推导

可以根据$C_{(\alpha-\beta)}$，得到$C_{(\alpha+\beta)}$（根据诱导公式$\cos(-\alpha)=\cos\alpha$和$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$得到）。以下为推导过程。

Copyright © 2019 ctjcalc，转载请注明URL，并给出原文链接，谢谢。根据$C_{(\alpha-\beta)}$，易得 $$ \begin{align} \cos(\alpha+\beta)&=\cos[\alpha-(-\beta)] \\ &=\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta) \\ &=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \\ \end{align} $$

总结一下，和与差的余弦公式可以写成这样：

\[C_{(\alpha\pm\beta)}:\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta \]

和与差的正弦公式推导

根据诱导公式$\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha$，即可进行转化。

\[\begin{align} \sin(\alpha-\beta)&=\cos[(\frac{\pi}{2}-\alpha)+\beta] \\ &=\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)\cos\beta-\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)\sin\beta \\ &=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \\ \sin(\alpha+\beta)&=\sin[\alpha-(-\beta)] \\ &=\sin\alpha\cos(-\beta)-cos\alpha\sin(-\beta) \\ &=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \\ \end{align} \]

总结一下，可以写成：

\[S_{(\alpha\pm\beta)}:\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta \]

和与差的正切公式推导

根据商数关系，即$\tan\alpha=\frac{\alpha}{\beta}$，再利用之前推导的公式，就可以推导了。

\[\begin{align} \tan(\alpha+\beta)&=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} \\ &=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta} \\ &=\frac{\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{\frac{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}} \\ &=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \\ \tan(\alpha-\beta)&=\tan[\alpha-(-\beta)] \\ &=\frac{\tan\alpha+\tan(-\beta)}{1-\tan\alpha\tan(-\beta)} \\ &=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} \\ \end{align} \]

所以

\[T_{(\alpha\pm\beta)}:\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta} \]

在本文中，倍角特指二倍角，其他的$n$倍角中的$n$不能省略。

其实很简单，根据前面的和角的公式，把$2\alpha$用$\alpha+\alpha$代入即可。

\[\begin{align} \sin 2\alpha&=\sin(\alpha+\alpha) \\ &=\sin\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\cos\alpha \\ &=2\sin\alpha\cos\alpha \\ \cos 2\alpha&=\cos(\alpha+\alpha) \\ &=\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha \\ &=\cos^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha \\ \tan 2\alpha&=\tan(\alpha+\alpha) \\ &=\frac{\tan\alpha+\tan\alpha}{1-\tan\alpha\tan\alpha} \\ &=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2} \alpha} \\ \end{align} \]

特别的，倍角的余弦公式还可以转化为仅用一个函数名表示：

\[\begin{align} \cos 2\alpha&=\cos^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha \\ &=\cos^{2} \alpha-1+\cos^{2} \alpha \\ &=2\cos^{2} \alpha-1 \\ \cos 2\alpha&=\cos^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha \\ &=1-\sin^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha \\ &=1-2\sin^{2} \alpha \\ \end{align} \]

这些公式可以用一个表格概括：

三角函数 $\alpha\pm\beta$ $2\alpha$ $\sin$ $\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$ $\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ $\cos$ $\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$ $\cos 2\alpha=\cos^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha \\ =2\cos^{2} \alpha-1\\ =1-2\sin^{2} \alpha$ $\tan$ $\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$ $\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2} \alpha}$ Copyright © 2019 ctjcalc，转载请注明URL，并给出原文链接，谢谢。

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