虚数是确实存在的！事实上，许多重要的物理和工程的理论都离不开虚数。同时，理解虚数也是理解量子物理的前提。

我相信关注这个问题和对此类问题感到疑惑的大多数是高中生或者非工程、电气或物理专业的人。说实话我第一次接触虚数的时候也确实感到一头雾水，同时又感到很神秘。因为高考不考这方面的内容所以也就没有深入学习下去。但是当真正学习虚数及其在工程和物理方面的应用后，着实有一种豁然开朗，发现新世界般的感觉。

其实虚数概念并不复杂，稍加解释便能解释清楚。只不过在一般生活中应用很少，所以一般人并没有虚数的概念。可是虚数在物理，工程，电气方面的应用非常广泛。比如著名的薛定谔方程中就出现虚数，虚数在控制理论中必不可少，在电气工程中也极为重要。

几个高票答案已经给虚数很好的解释，可是我觉得对于从没有虚数概念的人来说还不够直观。我的答案就试图通过最简单直观的方法解释什么是虚数并尽力让你感觉虚数同你所理解的大多数一样真实存在。

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想要正确理解虚数，首先需要重新思考一下我们大多数人所理解的数。比如正数，负数，小数。

一、数字的概念--数轴

当我提到数字的时候，我想大多数人脑海中会立即出现这样一个轴，我们生活中遇到的数全在上面。有正数，分数，零，负数，有理数，无理数。。。

但是人类有“数字”这个概念实际上并不像大多数人想象中的那样理所当然。人类一开始也没有数字的概念。好吧，那我们就先从一片空白开始：

远古时期的人类只有自然数的概念。这很容易理解。 因为这正体现了人们为什么要使用数字。你给我一头牛，我跟你换两只羊。实实在在的物体无法分割也无需分割。这时，数字是数轴上断断续续的点

后来，当文明不断进步，人们需要解决一些更复杂的问题，比如经济往来。这时人们发现自然数有时候就不够精确了。 比如把七块钱分给两个人，那每一个人应该分三块加一块的一半，但是那一半怎么表示呢？于是，在公元前1800年，古埃及人发明了一种划时代的计数方式 ---- 分数。有了分数之后，数轴上自然数之间的空隙就被填补，所有在两个自然数之间的数都可以用分数表示了！然而，在接下来的两千多年里，人们对数轴的全部认识也只包括了自然数和分数。

再后来，人们又对数轴有了新的认识。为什么数轴是单向的呢，如果数字往另一个方向走会是什么？

但是，并不是所有的人都接受零以及看上去毫无意义的负数。想想我们第一次听说负数的感觉吧。至少我记得我当时觉得这玩意儿除了考试没啥用。当然，有这样想法的肯定不止我一个：直到公元前十七世纪，发明分数的古埃及人才认识到了零在数轴上的位置。古巴比伦人在公元前三世纪才意识到零在数学中的意义。而这一点，中国人在公元前二世纪才意识到。但是和前两者不同的是，几乎是同一时期，中国人承认了负数的存在，但是前两者还并未意识到负数。

二、更完整的数字体系 -- 复平面

现在来看一个函数 f(x) = x^2 + 1. 我们可以将函数画在一个xy坐标中。于是我们就获得了一个的弧形。

现在我们来找这个函数的根，就是函数与x轴的交点。正如你所在图中看到的，函数的图像不会与x轴有任何的交点。换句话说，这个函数没有根。可实际情况真的是这样吗？差不多200年前，数学家高斯（对！就是那个算1加到100的高斯）提出了一条重要的理论：

任何一个n次方的函数都有n个根（这是一个基本观点，很重要，求不出来根并不是说没有根，只是在实数范围内没有，那根去了哪里呢？在复数范围内，这说明我们生活中的“实数系”是不完整的，没有包含到自然界中存在的所有情况。）

换句话说，f(x) = x^2 + 1是个二次方函数，理应有两个根。可是，我们到那里能找到这预言中的两个根呢？

答案是：我们的数不够用了 ---- 在我们习惯的由有理数和无理数组成的数字系统中找不到这样的数使得 x^2+1 = 0.

正如本文一开始所说，人们一般将所有的数想象在一条连续的一维直线上，如图：

请注意，我特意在这里强调了“一维”是因为我们要找的根并不在这条直线上 ---- 或者说并不在这条直线的维度中 ---- 他们活在另一个维度的世界中。。。

这个新的维度，就是虚数的维度！

现在我们可以将数轴拓展，并不是让他变得更长，而是增加一个维度，将数轴拓展到一个二维的平面，数学家们称这个平面为复平面。 你可以将复平面想象成我们熟知的xy坐标系，在这里，x轴是我们熟知的数轴，y轴就是虚数轴，单位长度是 ，我们也将这个值表示为 i。如图：

这样一来，每一个数都有两个部分，即实数部分和虚数部分。我们可以用 u + wi 表示任意一个在这个复平面上的数。比如 2+2i， 这是一个我们常见的虚数。或者是1 可以表示为 1 + 0i。因为这个数的虚数部分是0，所以他就在我们的数轴上，他就是我们常见的数字1.

如果在原有xy坐标系的基础上我们再加一个虚数的维度用来表示x的虚数部分，那么在新的三维坐标中，一条轴表示x的实数部分，一条轴表示x的虚数部分，另一条轴表示y（其实是y的实数部分）。现在当我们重新画f(x) = x^2 + 1的图像时，得到的会是如下图所示的一个曲面。其中红色原点处就是我们要找的那消失了的根！

为什么只有一个？因为另一个根在图中纸的另一面，位置在（0，i）

我们只有将数轴拓展到一个二维平面时我们才能“看”到那两个消失的根。这表明我们平常使用的计数体系并不完整！好了，我们已经找到了f(x) = x^2 + 1消失的两个根，并且知道这两个根在复平面的另一个不同于实数轴的维度上。可是，这并没有解答楼主的问题 --- 虚数是真实存在的吗？正如你在刚才例子中所看到的那样，虚数是真实存在的，他只不过活在了另一个维度中，一个看不见摸不着但是可以被我们想象到的维度中。这一开始很难接受，可当你习惯用复平面思考后，你就会意识到它是实实在在存在的。正如同在现实中负数也是看不见摸不着的（比如你说“我有-1个苹果”在现实生活中毫无意义）但是你却接受它的存在一样。实际上，让多数人对虚数感到困惑主要原因是“虚数”这个名字起的非常糟糕。“虚数”听上去好像就是一个虚无缥缈并不存在的数。就连高斯本人也觉得这个名字起得极差。他拒绝使用imaginary number(虚数)这个称谓来称呼虚数，而是使用lateral number（“侧数”或者“旁数”）来称呼虚数。他这样做似乎在暗示虚数并不是无中生有，他就在你所熟悉的数轴的旁边。

结论

虚数是实际存在的，它就如同你所熟悉的任何其他数一样，可以进行四则运算以及开根号。虚数的发现极大的拓展了人类对数本身的认识也从而极大地物理学以及工程的研究。可是这就是尽头了吗？记得从小学到高中，当课本引入分数的时候，标题是“数怎么不够用了？”， 当引入负数的时候标题是“数怎么又不够用了？”。现在当我们了解了虚数并且将我们的计数体系从一维拓展到二维之后，会不会在不就得将来发现数怎么还不够用啊！目前看来，答案是否定的。我们的数终于够用了！数学家已经经过严格的证明证明了复平面是完整的，也就是说复平面中任何两个数做任何运算时，结果都可以被另外一个在复平面中的数所表示。而且，在目前的物理学研究中，也再没出现过数不够用的情况了。

一点点题外话

当人们发现他们找不到理论所预言的函数根时，我们拓展了数轴，发现了活在另一维度中的数。当人们发现经典物理无法解释微观粒子的运动时，量子物理应运而生引领了几乎全部的现代物理学研究。每当人们的观察和已有的理论相矛盾或者观测到了理论无法预测的现象时，其背后往往隐藏着一个更大的更革命性的发现。

最终的结论总结如下

（1）“实数系”是不完备的，有一些数和结果还没办法表示，通俗的说就是“数怎么又不够用了”，现代研究表明，“复数系”是完备的，任何数都包含在复平面内，任何在复平面内所做的任何计算，结果也都可以在复平面表示，再也不会出现“数不够用的情况了”。

（2）从本质上来说，任何一个数都是“二维的”，它都包含实部和虚部，只不过平时简单的运算中，在虚部为零的条件下，实数出现的很多，因而，任何一个数本质上都是“二维的”，它都有实坐标、虚坐标。

（3）复数在复平面上的表示为一个点。任何一个数（注意是两个维度的数哦——包含实部和虚部）都对应复平面内唯一的点，同理，复平面内任何一个点都对应唯一的复数。

（4）复平面上的复数计算和平面向量的区别。复平面内负数的计算（加减法、数乘运算）和向量的坐标运算一样，但是复数z=x+jy，和向量a=(x,y)是有本质上的区别的，首先z=x+jy表示的仅仅是复平面上面的一个“点”，而向量表示的是有方向的“线段”，它们的本质意义不同。

（5）复数是客观存在的，复平面同样也是客观存在的，所以复平面的“虚轴”不是假象的或者是虚无的，它是真实就存在的一个维度。所以高斯不喜欢“Imaginary Number虚数”这个概念，而将它称之为“侧数”或者“旁数”，顾名思义，它不是虚拟的，它的确是真实存在，就在我们的实数数轴的侧面或旁边还有一个维度，只是你不知道而已。

（6）欧拉虽然用了“欧拉公式”很多年，但是欧拉公式是根据指数的幂级数，正弦和余弦函数的幂级数推到出来的，他并没有弄明白复数和虚数真正意义上的几何意义。除此之外，他将z=x+jy用平面坐标去表示，是基于它和向量运算的共性，没有真正该清楚复数运算的几何意义，最重要的是，他没有想到“复数就是复平面上的一个点，任何复数本质上来说就是二维的，就具有实部和虚部两个维度”这一个核心问题。（这句话其实相当于一个自然真理）

（7）很多人用“方向旋转”去解释虚数单位j，说虚数单位实际上就是实数数轴上某个点逆时针旋转90度得到的，这其实是一种很片面的理解，他最早的来源是挪威测量学家“维塞尔（Argand Wessel）”的“Argand图解复数”——参考书籍《古今数学思想第三册》。这种方法可以从图形的角度直观的理解复数，可以参考网上的很多解答，比如http://www.ruanyifeng.com/blog/2012/09/imaginary_number.html，https://www.zhihu.com/question/23234701 等等。我也推荐从图像的角度去认知复数，但一定要记住复数的本质。

（8）复数的物理意义。复数的诞生和物理研究没有什么关系，复数也不是来自于物理，只是后来复数广泛应用于物理科学的方方面，所以很多人说复数的物理意义是电磁场的混合传播等一些列的解释其实是很不准确的，只能说明复数恰好可以完美的解释这一类物理现象。