结论:定义域是使得函数有定义的点的集合;定义区间是定义域的子区间。所谓区间，即不能是点。

eg1:{1,2,3,4,5}可以是函数的定义域，但不能是函数的定义区间，因为它们含离散的点。

eg2:[1,3] U [5,6]可以是函数的定义域，也可以是函数的定义区间。

eg3:[1,3]U{5}可以是函数的定义域，但不能是函数的定义区间，因为它含离散点。

前言:在说明为什么提出二者之前，先引入两条基本定理和间断点的定义。

1.基本初等函数(即幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数）在其定义域内连续。

2.初等函数在其定义区间内连续。

间断点定义:如果函数在x0处的去心邻域有定义，但在x0处不连续(即 \lim\limits_{x \to x_0}f(x)=f(x_0) 不成立），那么x0是函数的一个间断点或者说不连续点。

不连续的情况详细分为三种:

从它们的区别可以划分两类间断点，这里就不具体阐述了。

这里特别注意的是间断点必须要求间断点的邻域有定义！这是引出定义域和定义区间的重要因素。

基本初等函数在其定义域内连续，高等数学教材(同济版)并没有证明，我估计证明需要更深的数学专业的知识，所以这里把它和初等函数在其定义区间内连续当做结论。

初等函数在其定义区间内连续。为什么是定义区间呢？因为不管是点连续的定义还是间断点的定义，都涉及到了邻域的概念，如果一个点的邻域没有定义，那么自然也就谈不上连续。

e.g考虑初等函数 f(x)=\sqrt{\cos x -1} ,它的定义域都是一些离散点。

如果说初等函数是在定义域内连续，那么显然是不对的，因为它们是离散点，不存在领域这一说。但如果说初等函数是在定义区间内连续，那么就可以理解，因为它们都是一些离散点，并不构成区间，所以这么说是没错的。

定义域和定义区间的差别保证了数学的严谨性，稍微注意到它们的区别就行了。