3.4 生活中的优化问题举例（1）

生活中的优化问题举例

内容：生活中的优化问题

应用:

1.海报版面尺寸的设计

2.圆柱形饮料罐的容积为定值时,所用材料最省问题

3.饮料瓶大小对饮料公司利润有影响

本课主要学习生活中的优化问题。以生活中的实际问题引入新课。本节课设计从易到难，由浅入深地发现身边的“数学”，特别是对采用一题多解，一题多变的变式教学，有利于培养学生思维的广阔性与深刻性。遵循“提出问题----分析问题----解决问题”的思维过程，注重引导学生，了解背景、思考推理、数学建模等活动。本课给出3个例题和变式，通过解决这些问题，培养学生数学建模的能力。

采用例题与变式结合的方法，通过例1探讨如何设计海报的尺寸，使空白面积最小；例2是饮料罐的容积为定值时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省；例3是饮料的利润最大问题．通过这些问题的解决，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力.

问题1:学校宣传海报比赛，要求版心面积128dm左右边距1dm上下边距2dm，请问你将如何设计？

版心

规格（L）

2

1.25

0.6

价格（元）

5.1

4.5

2.5

问题2：下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则

（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？

（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.

运用什么知识解决优化问题

一般地，若函数y=f (x)在[a，b]上的图象是一条连续不断的

曲线，则求f (x) 的最值的步骤是：

（1）求y=f (x)在[a，b]内的极值(极大值与极小值)；

（2）将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较，

其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点，

则这个极值一定是最值。

y

o

a

x1

x2

x3

x4

b

x

例1：海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？

图3.4-1

分析：已知版心的面积，你会如何建立函数关系表示海报

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