生成函数即母函数，是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具。最早提出母函数的人是法国数学家LaplaceP.S.在其1812年出版的《概率的分析理论》中明确提出。 生成函数有普通型生成函数和指数型生成函数两种，其中普通型用的比较多。 生成函数的应用简单来说在于研究未知（通项）数列规律，用这种方法在给出递推式的情况下求出数列的通项，生成函数是推导Fibonacci数列的通项公式方法之一。 另外生成函数也广泛应用于编程与算法设计、分析上，运用这种数学方法往往对程序效率与速度有很大改进。

在概率论中，离散随机变量的概率生成函数是随机变量的概率质量函数（probability mass function，PMF，即离散随机变量的密度函数）的幂级数表示（生成函数）。 概率生成函数通常用于对随机变量X的概率质量函数中的概率序列进行简洁的描述，并提供完善的具有非负系数的幂级数理论。

对于任意数列，用如下方法与一个函数联系起来：

则称为数列的生成函数（generating function）。

相应的把上述数列替换为离散随机变量分布函数的数列：

显然的各项系数非负，且和为1。这个条件可以写成：

同样，反过来，任何具有非负系数且满足的幂级数

可以看出上述两式可以大大简化均值与方差的计算。

如果我们已知与的值，我们就能够求出均值与方差，甚至我们可以不用知道本身的封闭形式。

这显然是一个卷积，即：

????

待完成：

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