[推断统计] 求区间估计：枢轴量法 |
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[推断统计] 求区间估计：枢轴量法
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目录
一、区间估计二、枢轴量三、常见的枢轴量四、枢轴量法
一、区间估计
区间估计：是一种由样本数据计算两个点的规则，通常表示为一个公式，目的是形成一个以很高的置信程度包含总体参数
θ
θ
θ的区间。所得到的随机区间（随机是由于用于计算区间两个端点的样本观测值是随机变量）称为置信区间，包含被估参数的概率（抽样前）称为置信系数。
二、枢轴量
一种求参数
θ
θ
θ的置信区间的方法是求出一个枢轴统计量，该统计量是关于样本值和单个参数
θ
θ
θ的函数，其分布不依赖于任何未知参数。【例子】设
X
1
,
X
2
,
⋯
,
X
n
X_1,X_2,{\cdots},X_n
X1,X2,⋯,Xn是来自样本
N
(
μ
,
σ
2
)
N(μ,\sigma^2)
N(μ,σ2)的样本，
μ
,
σ
2
μ,\sigma^2
μ,σ2是未知参数，要估计的参数是
μ
μ
μ，现在有如下三个量：（1）
X
‾
\overline{X}
X；（2）
X
‾
−
μ
σ
/
n
\frac{\overline{X}-μ}{\sigma / \sqrt{n}}
σ/n
X−μ；（3）
X
‾
−
μ
S
n
\frac{\overline{X}-μ}{S \sqrt{n}}
Sn
X−μ。 其中，
X
‾
\overline{X}
X是统计量；
X
‾
−
μ
σ
/
n
\frac{\overline{X}-μ}{\sigma/\sqrt{n}}
σ/n
X−μ除了含有
μ
μ
μ外，还有未知参数
σ
\sigma
σ；只有
X
‾
−
μ
S
n
\color{red}\frac{\overline{X}-μ}{S \sqrt{n}}
Sn
X−μ是统计量，因为它是样本和单个参数
μ
μ
μ的函数，服从
t
(
n
−
1
)
t(n-1)
t(n−1)分布。
三、常见的枢轴量
转自这篇文章：https://zhuanlan.zhihu.com/p/146334143 单个正态总体 N ( μ , σ 2 ) N(μ,\sigma^2) N(μ,σ2)的情况：
σ
1
2
σ
2
2
\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}
σ22σ12的情况： 
四、枢轴量法
【例子】设 X 1 , X 2 , ⋯ , X n X_1,X_2,{\cdots},X_n X1,X2,⋯,Xn是来自样本 N ( μ , σ 2 ) N(μ,\sigma^2) N(μ,σ2)的样本， σ 2 \sigma^2 σ2已知，求参数 μ μ μ的置信度为 1 − α 1-\alpha 1−α的置信区间。 我们知道 X ‾ \overline{X} X服从正态分布，因此有： X ‾ \overline{X} X~ N ( μ , σ 2 n ) N(μ,\frac{\sigma^2}{n}) N(μ,nσ2)。由标准化，有 U = X ‾ − μ σ n U=\frac{\overline{X}-μ}{\sigma \sqrt{n}} U=σn X−μ。接下来，是枢轴量 U U U的概率表达，对于置信水平 1 − α 1-\alpha 1−α，查标准正态分布表，得： P { − u α / 2 ≤ X ‾ − μ σ n ≤ u α / 2 } = 1 − α P\lbrace{-u_ {\alpha/2} \leq \frac{\overline{X}-μ}{\sigma \sqrt{n}} \leq u_ {\alpha/2}}\rbrace =1-\alpha P{−uα/2≤σn X−μ≤uα/2}=1−α。容易解得： P { X ‾ − σ n u α / 2 ≤ μ ≤ X ‾ + σ n u α / 2 } P\lbrace \overline{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}u_ {\alpha/2} \leq μ \leq \overline{X}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}u_ {\alpha/2} \rbrace P{X−n σuα/2≤μ≤X+n σuα/2}。 则 μ μ μ的置信度为 1 − α 1-\alpha 1−α的置信区间为： ( X ‾ ± σ n u α / 2 ) \begin{pmatrix} \overline{X}\pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}}u_ {\alpha/2} \end{pmatrix} (X±n σuα/2) |
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