6.1.3节的内容理解与补充1 以下一律讨论常微分方程，一般形式1

y ′ + g ( x ) y = h ( x ) (1) y'+g(x)y=h(x) \tag{1} y′+g(x)y=h(x)(1) 《数值分析》1中为了解这个方程，搞了个积分因子，但过于省略。于是自己网上查了查通解公式怎么来的，顺便弄清楚了常微分方程的线性和齐次是啥。

就是最高只有y的一阶导数

线性系统 y=H(x) 的性质可以从经典的正比例函数y=kx的角度去感觉。 a. 输入x乘以某个数，则输出y也乘以某个数。这个性质被称为： 齐次性： H ( x + x ) = H ( x ) + H ( x ) H(x+x)=H(x)+H(x) H(x+x)=H(x)+H(x) b. 两个x1和x2的和的输入，等于输入的和，这个性质被称为： 可加性： H ( x 1 + x 2 ) = H ( x 1 ) + H ( x 2 ) H(x1+x2)=H(x1)+H(x2) H(x1+x2)=H(x1)+H(x2) 可加性和齐次性合在一起就成了，最常见的，描述线性系统的公式： H ( a x 1 + b x 2 ) = a H ( x 1 ) + b ( x 2 ) H(ax1+bx2)=aH(x1)+b(x2) H(ax1+bx2)=aH(x1)+b(x2)

上面说的系统，对于常微分方程来说，是对y的所有操作。 在(1)式中就是等式的左边部分，具体的操作输出了导数和原函数的一个加权和。 H ( y ) = y ′ + g ( x ) y (2.2.1) H(y)=y'+g(x)y\tag{2.2.1} H(y)=y′+g(x)y(2.2.1) 我们看下线性系统的两个性质的体现： 齐次性： H ( 2 y ) = ( 2 y ) ′ + g ( x ) ( 2 y ) = 2 H ( y ) H(2y)=(2y)'+g(x)(2y)=2H(y) H(2y)=(2y)′+g(x)(2y)=2H(y) 可加性： H ( y 1 + y 2 ) = ( y 1 + y 2 ) ′ + g ( x ) ( y 1 + y 2 ) = y 1 ′ + g ( x ) y 1 + y 2 + g ( x ) y 1 = H ( y 1 ) + H ( y 2 ) H(y_{1}+y_{2})=(y_{1}+y_{2})'+g(x)(y_{1}+y_{2})=y_{1}'+g(x)y_{1}+y_{2}+g(x)y_{1}=H(y_{1})+H(y_{2}) H(y1​+y2​)=(y1​+y2​)′+g(x)(y1​+y2​)=y1′​+g(x)y1​+y2​+g(x)y1​=H(y1​)+H(y2​) 举一个非线性的例子，很容易想到y^2 H ( y ) = y ′ + y 2 H(y)=y'+y^{2} H(y)=y′+y2 则 H ( 2 y ) = 2 y ′ + 4 y 2 ≠ 2 y ′ + 2 y 2 = 2 H ( y ) H(2y)=2y'+4y^{2}\neq2y'+2y^{2}=2H(y) H(2y)=2y′+4y2=2y′+2y2=2H(y)

上面一小节已经提到了一次齐次性了，齐次就是数乘不变。 上面提到的是微分操作的数乘不变性。而齐次微分方程的齐次，是指解的齐次不变性。也就是指方程的解，数乘之后还是该方程的解。 比如方程对(1)式取g(x)=-1, h(x)=0，则方程为: y ′ − y = 0 y'-y=0 y′−y=0 则y=exp(x)是方程的解，同样a·y也是方程的解（a为任意常数） ( a e x ) ′ − a e x = 0 (ae^{x})'-ae^{x}=0 (aex)′−aex=0 但如果h(x)取非0，方程就不是齐次的了。这和2.1节开头提到的正比例函数是y=kx的解是齐次的，但一次函数y=kx+c（c≠0）的解不再齐次十分类似

以第三节的例子为例，一阶线性齐次方程可以用分离变量法，获得解析解。 y ′ + g ( x ) y = 0 (4.1.1) y'+g(x)y=0 \tag{4.1.1} y′+g(x)y=0(4.1.1) 解为 y = C e − ∫ g ( x ) d x (4.1.2) y=Ce^{-\int_{}^{}g(x)dx}\tag{4.1.2} y=Ce−∫​g(x)dx(4.1.2)

就像化学式配平一样，对于一阶线性非齐次的方程 y ′ + g ( x ) y = h ( x ) (4.2.1) y'+g(x)y=h(x) \tag{4.2.1} y′+g(x)y=h(x)(4.2.1) 齐次方程的解已经足够y守恒了，现在要配出一个h(x)，并且配的时候不影响y的守恒。 那么会看第三章对齐次的定义，也就是数乘不变，我们可以对式(4.1.2)乘一个x或者含有x的函数u(x)，来尝试作为非齐次方程(4.2.1)的解。这样是不影响y的守恒的，因为如果仅仅把y看做未知数（这也是应该的，毕竟是关于y的常微分方程），x以及u(x)都可以看做常数。而对(4.1.2)乘以一个常数，不改变它是方程(4.1.1)的解，因为方程是齐次的。 于是我们将 y = u ( x ) e − ∫ g ( x ) d x y=u(x)e^{-\int_{}^{}g(x)dx} y=u(x)e−∫​g(x)dx 代入式(4.2.1)，得到： [ u ( x ) e − ∫ g ( x ) d x ] ′ + g ( x ) u ( x ) e − ∫ g ( x ) d x = h ( x ) u ′ ( x ) e − ∫ g ( x ) d x + u ( x ) e − ∫ g ( x ) d x × [ − g ( x ) ] + g ( x ) u ( x ) e − ∫ g ( x ) d x = h ( x ) u ′ ( x ) = h ( x ) e ∫ g ( x ) d x u ( x ) = C + ∫ h ( x ) e ∫ g ( x ) d x [u(x)e^{-\int_{}^{}g(x)dx}]'+g(x)u(x)e^{-\int_{}^{}g(x)dx}=h(x)\\ u'(x)e^{-\int_{}^{}g(x)dx}+u(x)e^{-\int_{}^{}g(x)dx}\times[-g(x)]+g(x)u(x)e^{-\int_{}^{}g(x)dx}=h(x)\\ u'(x)=h(x)e^{\int_{}^{}g(x)dx}\\ u(x)=C+\int_{}^{}h(x)e^{\int_{}^{}g(x)dx} [u(x)e−∫​g(x)dx]′+g(x)u(x)e−∫​g(x)dx=h(x)u′(x)e−∫​g(x)dx+u(x)e−∫​g(x)dx×[−g(x)]+g(x)u(x)e−∫​g(x)dx=h(x)u′(x)=h(x)e∫​g(x)dxu(x)=C+∫​h(x)e∫​g(x)dx 从而获得了(4.2.1)的通解公式： y = e − ∫ g ( x ) d x [ C + ∫ h ( x ) e ∫ g ( x ) d x d x ] y=e^{-\int_{}^{}g(x)dx}[C+\int_{}^{}h(x)e^{\int_{}^{}g(x)dx}dx] y=e−∫​g(x)dx[C+∫​h(x)e∫​g(x)dxdx]

y ′ − y = x , 则 g ( x ) = − 1 , h ( x ) = x ∫ g ( x ) d x = − x y = e x [ C + ∫ x e − x d x ] 其中， ∫ x e − x d x = − ∫ x d e − x = − [ x e − x − ∫ e − x d x ] = − x e − x − e − x 则： y = C e x − x − 1 y'-y=x, 则g(x)=-1,h(x)=x\\ \int_{}^{}g(x)dx=-x\\ y=e^{x}[C+\int_{}^{}xe^{-x}dx]\\ 其中，\int_{}^{}xe^{-x}dx=-\int_{}^{}xde^{-x}=-[xe^{-x}-\int_{}^{}e^{-x}dx]=-xe^{-x}-e^{-x}\\ 则：y=Ce^{x}-x-1 y′−y=x,则g(x)=−1,h(x)=x∫​g(x)dx=−xy=ex[C+∫​xe−xdx]其中，∫​xe−xdx=−∫​xde−x=−[xe−x−∫​e−xdx]=−xe−x−e−x则：y=Cex−x−1 可代入原方程验证

RC电路

Sauer T. 数值分析[M]. 第一版. 中国:人民邮电出版社, 2020.1 p271:p271. ↩︎ ↩︎ ↩︎

https://www.zhihu.com/question/40919950 ↩︎

https://www.zhihu.com/question/365491220/answer/968575032 ↩︎

https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%80%E9%98%B6%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B/8440011?fr=aladdin ↩︎

Sauer T. 数值分析[M]. 第一版. 中国:人民邮电出版社, 2020.1 272:272.习题6.1.4(a) ↩︎