二阶常系数线性非齐次微分方程的解

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二阶常系数线性非齐次微分方程的解

2024-07-09 04:41| 来源: 网络整理| 查看: 265

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文章目录一、定义二、齐次通解三、非齐次特解1. α \alpha α不是特征根2. α \alpha α是特征单重根3. α \alpha α是特征二重根4. α + i β \alpha+\mathrm{i}\beta α+iβ不是特征根5. α + i β \alpha+\mathrm{i}\beta α+iβ是特征根6. 一个小技巧稍微降低运算量

一、定义

二阶常系数线性齐次微分方程： y ′ ′ ( x ) + p y ′ ( x ) + q y ( x ) = 0 y''(x)+py'(x)+qy(x)=0 y′′(x)+py′(x)+qy(x)=0 二阶常系数线性非齐次微分方程： y ′ ′ ( x ) + p y ′ ( x ) + q y ( x ) = g ( x ) y''(x)+py'(x)+qy(x)=g(x) y′′(x)+py′(x)+qy(x)=g(x) 二阶常系数线性非齐次微分方程的通解： y ( x ) = 齐次通解 + 非齐次特解 = y 0 ( x ) + y ∗ ( x ) y(x)=齐次通解+非齐次特解=y_0(x)+y^*(x) y(x)=齐次通解+非齐次特解=y0(x)+y∗(x)

二、齐次通解

特征方程为 r 2 + p r + q = 0 r^2+pr+q=0 r2+pr+q=0 根据特征方程的根 r 1 , r 2 r_1,r_2 r1,r2的情况，设通解为 y 0 ( x ) = { C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x , r 1 ≠ r 2 ( C 1 + C 2 x ) e r 1 x , r 1 = r 2 e α x [ C 1 cos ⁡ ( β x ) + C 2 sin ⁡ ( β x ) ] , r = α ± i β y_0(x)= \begin{cases} C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}, & r_1 \neq r_2 \\ (C_1+C_2x)e^{r_1x}, & r_1 = r_2 \\ e^{\alpha x}[C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x)], & r = \alpha \pm \mathrm{i} \beta \end{cases} y0(x)=⎩ ⎨ ⎧C1er1x+C2er2x,(C1+C2x)er1x,eαx[C1cos(βx)+C2sin(βx)],r1=r2r1=r2r=α±iβ

三、非齐次特解 1. α \alpha α不是特征根 g ( x ) g(x) g(x)的形式特解 y ∗ ( x ) y^*(x) y∗(x)的形式 a a a A A A a x + b ax+b ax+b A x + B Ax+B Ax+B a x 2 + b x + c ax^2+bx+c ax2+bx+c A x 2 + B x + C Ax^2+Bx+C Ax2+Bx+C a e α x ae^{\alpha x} aeαx A e α x Ae^{\alpha x} Aeαx ( a x + b ) e α x (ax+b)e^{\alpha x} (ax+b)eαx ( A x + B ) e α x (Ax+B)e^{\alpha x} (Ax+B)eαx ( a x 2 + b x + c ) e α x (ax^2+bx+c)e^{\alpha x} (ax2+bx+c)eαx ( A x 2 + B x + C ) e α x (Ax^2+Bx+C)e^{\alpha x} (Ax2+Bx+C)eαx 2. α \alpha α是特征单重根

（1） α ≠ 0 \alpha \neq 0 α=0时

g ( x ) g(x) g(x)的形式特解 y ∗ ( x ) y^*(x) y∗(x)的形式 a e α x ae^{\alpha x} aeαx x A e α x xAe^{\alpha x} xAeαx ( a x + b ) e α x (ax+b)e^{\alpha x} (ax+b)eαx x ( A x + B ) e α x x(Ax+B)e^{\alpha x} x(Ax+B)eαx ( a x 2 + b x + c ) e α x (ax^2+bx+c)e^{\alpha x} (ax2+bx+c)eαx x ( A x 2 + B x + C ) e α x x(Ax^2+Bx+C)e^{\alpha x} x(Ax2+Bx+C)eαx

（2） α = 0 \alpha=0 α=0时

g ( x ) g(x) g(x)的形式特解 y ∗ ( x ) y^*(x) y∗(x)的形式 a a a x A xA xA a x + b ax+b ax+b x ( A x + B ) x(Ax+B) x(Ax+B) a x 2 + b x + c ax^2+bx+c ax2+bx+c x ( A x 2 + B x + C ) x(Ax^2+Bx+C) x(Ax2+Bx+C) 3. α \alpha α是特征二重根

（1） α ≠ 0 \alpha \neq 0 α=0时

g ( x ) g(x) g(x)的形式特解 y ∗ ( x ) y^*(x) y∗(x)的形式 a e α x ae^{\alpha x} aeαx x 2 A e α x x^2Ae^{\alpha x} x2Aeαx ( a x + b ) e α x (ax+b)e^{\alpha x} (ax+b)eαx x 2 ( A x + B ) e α x x^2(Ax+B)e^{\alpha x} x2(Ax+B)eαx ( a x 2 + b x + c ) e α x (ax^2+bx+c)e^{\alpha x} (ax2+bx+c)eαx x 2 ( A x 2 + B x + C ) e α x x^2(Ax^2+Bx+C)e^{\alpha x} x2(Ax2+Bx+C)eαx

（2） α = 0 \alpha=0 α=0时

g ( x ) g(x) g(x)的形式特解 y ∗ ( x ) y^*(x) y∗(x)的形式 a a a x 2 A x^2A x2A a x + b ax+b ax+b x 2 ( A x + B ) x^2(Ax+B) x2(Ax+B) a x 2 + b x + c ax^2+bx+c ax2+bx+c x 2 ( A x 2 + B x + C ) x^2(Ax^2+Bx+C) x2(Ax2+Bx+C) 4. α + i β \alpha+\mathrm{i}\beta α+iβ不是特征根 g ( x ) g(x) g(x)的形式特解 y ∗ ( x ) y^*(x) y∗(x)的形式 e α x [ a cos ⁡ ( β x ) + b sin ⁡ ( β x ) ] e^{\alpha x}[a\cos(\beta x) + b\sin(\beta x)] eαx[acos(βx)+bsin(βx)] e α x [ A cos ⁡ ( β x ) + B sin ⁡ ( β x ) ] e^{\alpha x}[A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x)] eαx[Acos(βx)+Bsin(βx)] e α x [ ( a x + b ) cos ⁡ ( β x ) + ( c x + d ) sin ⁡ ( β x ) ] e^{\alpha x}[(ax+b)\cos(\beta x) + (cx+d)\sin(\beta x)] eαx[(ax+b)cos(βx)+(cx+d)sin(βx)] e α x [ ( A x + B ) cos ⁡ ( β x ) + ( C x + D ) sin ⁡ ( β x ) ] e^{\alpha x}[(Ax+B)\cos(\beta x) + (Cx+D)\sin(\beta x)] eαx[(Ax+B)cos(βx)+(Cx+D)sin(βx)] e α x [ ( a x 2 + b x + c ) cos ⁡ ( β x ) + ( d x 2 + e x + f ) sin ⁡ ( β x ) ] e^{\alpha x}[(ax^2+bx+c)\cos(\beta x) + (dx^2+ex+f)\sin(\beta x)] eαx[(ax2+bx+c)cos(βx)+(dx2+ex+f)sin(βx)] e α x [ ( A x 2 + B x + C ) cos ⁡ ( β x ) + ( D x 2 + E x + F ) sin ⁡ ( β x ) ] e^{\alpha x}[(Ax^2+Bx+C)\cos(\beta x) + (Dx^2+Ex+F)\sin(\beta x)] eαx[(Ax2+Bx+C)cos(βx)+(Dx2+Ex+F)sin(βx)] 5. α + i β \alpha+\mathrm{i}\beta α+iβ是特征根 g ( x ) g(x) g(x)的形式特解 y ∗ ( x ) y^*(x) y∗(x)的形式 e α x [ a cos ⁡ ( β x ) + b sin ⁡ ( β x ) ] e^{\alpha x}[a\cos(\beta x) + b\sin(\beta x)] eαx[acos(βx)+bsin(βx)] x e α x [ A cos ⁡ ( β x ) + B sin ⁡ ( β x ) ] xe^{\alpha x}[A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x)] xeαx[Acos(βx)+Bsin(βx)] e α x [ ( a x + b ) cos ⁡ ( β x ) + ( c x + d ) sin ⁡ ( β x ) ] e^{\alpha x}[(ax+b)\cos(\beta x) + (cx+d)\sin(\beta x)] eαx[(ax+b)cos(βx)+(cx+d)sin(βx)] x e α x [ ( A x + B ) cos ⁡ ( β x ) + ( C x + D ) sin ⁡ ( β x ) ] xe^{\alpha x}[(Ax+B)\cos(\beta x) + (Cx+D)\sin(\beta x)] xeαx[(Ax+B)cos(βx)+(Cx+D)sin(βx)] e α x [ ( a x 2 + b x + c ) cos ⁡ ( β x ) + ( d x 2 + e x + f ) sin ⁡ ( β x ) ] e^{\alpha x}[(ax^2+bx+c)\cos(\beta x) + (dx^2+ex+f)\sin(\beta x)] eαx[(ax2+bx+c)cos(βx)+(dx2+ex+f)sin(βx)] x e α x [ ( A x 2 + B x + C ) cos ⁡ ( β x ) + ( D x 2 + E x + F ) sin ⁡ ( β x ) ] xe^{\alpha x}[(Ax^2+Bx+C)\cos(\beta x) + (Dx^2+Ex+F)\sin(\beta x)] xeαx[(Ax2+Bx+C)cos(βx)+(Dx2+Ex+F)sin(βx)] 6. 一个小技巧稍微降低运算量

求解二阶常系数线性非齐次微分方程时，需要对特解进行二次求导，若特解是两个含 x x x项的乘积，则求导时需要不断使用求导乘法法则，且需代入方程求解系数，这个过程的计算量比较大。有一个小技巧可以稍微降低运算量：

若特解是两个含 x 项的乘积，可将两项分别记为 y 1 和 y 2 此时特解为： y ∗ = y 1 y 2 先对特解求一阶导可得： ( y ∗ ) ′ = y 1 ′ y 2 + y 1 y 2 ′ 再对特解求二阶导可得： ( y ∗ ) ′ ′ = y 1 ′ ′ y 2 + 2 y 1 ′ y 2 ′ + y 1 y 2 ′ ′ 计算 y 1 ′ ， y 1 ′ ′ ， y 2 ′ ， y 2 ′ ′ ，代入以上两式，整理并化简最后代入原方程： y ′ ′ ( x ) + p y ′ ( x ) + q y ( x ) = 0 \begin{aligned} &若特解是两个含x项的乘积，可将两项分别记为y_1和y_2 \\ &此时特解为：y^*=y_1y_2 \\ &先对特解求一阶导可得：(y^*)'=y_1'y_2+y_1y_2' \\ &再对特解求二阶导可得：(y^*)''=y_1''y_2+2y_1'y_2'+y_1y_2'' \\ &计算y_1'，y_1''，y_2'，y_2''，代入以上两式，整理并化简 \\ &最后代入原方程：y''(x)+py'(x)+qy(x)=0 \\ \end{aligned} 若特解是两个含x项的乘积，可将两项分别记为y1和y2此时特解为：y∗=y1y2先对特解求一阶导可得：(y∗)′=y1′y2+y1y2′再对特解求二阶导可得：(y∗)′′=y1′′y2+2y1′y2′+y1y2′′计算y1′，y1′′，y2′，y2′′，代入以上两式，整理并化简最后代入原方程：y′′(x)+py′(x)+qy(x)=0

建议将 ( y ∗ ) ′ (y^*)' (y∗)′和 ( y ∗ ) ′ ′ (y^*)'' (y∗)′′的式子记下来，以加快运算速度。

【例】 y ′ ′ − 3 y ′ + 2 y = 10 e − x sin ⁡ x y''-3y'+2y = 10e^{-x} \sin x y′′−3y′+2y=10e−xsinx

特征方程： r 2 − 3 r + 2 = 0 由此设齐次通解： y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x 设非齐次特解： y ∗ = e − x ( A sin ⁡ x + B cos ⁡ x ) 记： y 1 = e − x ， y 2 = A sin ⁡ x + B cos ⁡ x ，则： y ∗ = y 1 y 2 有： y 1 ′ = − e − x ， y 2 ′ = A cos ⁡ x − B sin ⁡ x 有： y 1 ′ ′ = e − x ， y 2 ′ ′ = − A sin ⁡ x − B cos ⁡ x 所以有： ( y ∗ ) ′ = y 1 ′ y 2 + y 1 y 2 ′ = e − x [ ( A − B ) cos ⁡ x − ( A + B ) sin ⁡ x ] 所以有： ( y ∗ ) ′ ′ = y 1 ′ ′ y 2 + 2 y 1 ′ y 2 ′ + y 1 y 2 ′ ′ = e − x [ 2 B sin ⁡ x − 2 A cos ⁡ x ] 最后代入原方程化简： ( A + B ) sin ⁡ x + ( B − A ) cos ⁡ x = 2 sin ⁡ x 求出 A = 1 , B = 1 所以： y ∗ = e − x ( sin ⁡ x + cos ⁡ x ) \begin{aligned} &特征方程：r^2-3r+2=0 \\ &由此设齐次通解：y_0=C_1e^x+C_2e^{2x} \\ &设非齐次特解：y^*=e^{-x}(A \sin x+B \cos x) \\ &记：y_1=e^{-x}，y_2=A \sin x+B \cos x，则：y^*=y_1y_2 \\ &有：y_1'=-e^{-x}，y_2'=A \cos x-B \sin x \\ &有：y_1''=e^{-x}，y_2''=-A \sin x-B \cos x \\ &所以有：(y^*)'=y_1'y_2+y_1y_2'=e^{-x}[(A-B)\cos x-(A+B) \sin x] \\ &所以有：(y^*)''=y_1''y_2+2y_1'y_2'+y_1y_2''=e^{-x}[2B\sin x-2A \cos x] \\ &最后代入原方程化简：(A+B)\sin x+(B-A)\cos x=2 \sin x \\ &求出A=1,B=1 \\ &所以：y^*=e^{-x}(\sin x+\cos x) \end{aligned} 特征方程：r2−3r+2=0由此设齐次通解：y0=C1ex+C2e2x设非齐次特解：y∗=e−x(Asinx+Bcosx)记：y1=e−x，y2=Asinx+Bcosx，则：y∗=y1y2有：y1′=−e−x，y2′=Acosx−Bsinx有：y1′′=e−x，y2′′=−Asinx−Bcosx所以有：(y∗)′=y1′y2+y1y2′=e−x[(A−B)cosx−(A+B)sinx]所以有：(y∗)′′=y1′′y2+2y1′y2′+y1y2′′=e−x[2Bsinx−2Acosx]最后代入原方程化简：(A+B)sinx+(B−A)cosx=2sinx求出A=1,B=1所以：y∗=e−x(sinx+cosx)

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