二阶线性非齐次微分方程 d 2 y d x 2 + P ( x ) d y d x + Q ( x ) y = f ( x ) ≠ 0 \boxed{\frac {d^2y}{dx^2}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=f(x)\neq0} dx2d2y​+P(x)dxdy​+Q(x)y=f(x)=0​

二阶线性齐次微分方程

y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 \boxed{y^{''}+P(x)y^{'}+Q(x)y=0} y′′+P(x)y′+Q(x)y=0​

y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 \boxed{y^{''}+P(x)y^{'}+Q(x)y=0} y′′+P(x)y′+Q(x)y=0​

y 1 ( x ) , y 2 ( x ) 是解 , C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) 也是解 . y_1(x), y_2(x)是解,\boxed{C_1y_1(x)+C_2y_2(x)}也是解. y1​(x),y2​(x)是解,C1​y1​(x)+C2​y2​(x)​也是解.

误区： C 1 y 1 + C 2 y 2 是通解？ ( ❌ ) \boxed{C_1y_1+C_2y_2}是通解？(❌) C1​y1​+C2​y2​​是通解？(❌) 证明过程： y 1 = x , y 2 = 2 x y_1=x,y_2=2x y1​=x,y2​=2x

C 1 x + C 2 2 x = ( C 1 + 2 C 2 ) x C_1x+C_22x=\boxed{(C_1+2C_2)}x C1​x+C2​2x=(C1​+2C2​)​x

如果 α 1 … α s 是线性相关的 如果\alpha_1\dots\alpha_s是线性相关的 如果α1​…αs​是线性相关的

存在一组不全为 0 的 K 1 … K s , 使得 K 1 α 1 + ⋯ + K s α s = 0 存在一组不全为0的K_1\dots K_s,使得\boxed{K_1\alpha_1 + \dots + K_s\alpha_s=0} 存在一组不全为0的K1​…Ks​,使得K1​α1​+⋯+Ks​αs​=0​

若只有 K 1 α 1 + ⋯ + K s α s = 0 , K 1 = ⋯ = 0 若只有K_1\alpha_1 + \dots + K_s\alpha_s=0,K_1=\dots=0 若只有K1​α1​+⋯+Ks​αs​=0,K1​=⋯=0

y 1 , y 2 是无关的解，那么 C 1 y 1 + C 2 y 2 是齐次方程的通解 . y_1,y_2是无关的解，那么C_1y_1+C_2y_2是齐次方程的通解. y1​,y2​是无关的解，那么C1​y1​+C2​y2​是齐次方程的通解.

y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f ( x ) , 非齐次 . y ∗ 是特解 y^{''}+P(x)y^{'}+Q(x)y=f(x),非齐次.y^*是特解 y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x),非齐次.y∗是特解

y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 , 齐次 . Y 是通解 y^{''}+P(x)y^{'}+Q(x)y=0,齐次. Y是通解 y′′+P(x)y′+Q(x)y=0,齐次.Y是通解

Y + y ∗ 是非齐次方程的通解 \boxed{Y+y^*}是非齐次方程的通解 Y+y∗​是非齐次方程的通解

Y 1 , Y 2 是非齐次方程的特解， Y 1 − Y 2 是齐次方程的特解 Y_1,Y_2是非齐次方程的特解，Y_1-Y_2是齐次方程的特解 Y1​,Y2​是非齐次方程的特解，Y1​−Y2​是齐次方程的特解

y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) y^{''}+P(x)y^{'}+Q(x)y=f_1(x)+f_2(x) y′′+P(x)y′+Q(x)y=f1​(x)+f2​(x)

y 1 ∗ 是 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f 1 ( x ) 的特解 y_1^{*}是\boxed{y^{''}+P(x)y^{'}+Q(x)y=f_1(x)}的特解 y1∗​是y′′+P(x)y′+Q(x)y=f1​(x)​的特解

y 2 ∗ 是 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f 2 ( x ) 的特解 y_2^{*}是\boxed{y^{''}+P(x)y^{'}+Q(x)y=f_2(x)}的特解 y2∗​是y′′+P(x)y′+Q(x)y=f2​(x)​的特解

那么 y 1 ∗ + y 2 ∗ 就是原方程的特解 那么y_1^*+y_2^*就是原方程的特解 那么y1∗​+y2∗​就是原方程的特解

y ′ ′ + P y ′ + q y = 0 y^{''}+Py^{'}+qy=0 y′′+Py′+qy=0

r 2 + P r + q = 0 , 特征方程 r^2+Pr+q=0, 特征方程 r2+Pr+q=0,特征方程

y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x} y=C1​er1​x+C2​er2​x

y = ( C 1 + C 2 x ) e r 1 x y=(C_1+C_2x)e^{r_1x} y=(C1​+C2​x)er1​x

y = e α x ( C 1 c o s β x + C 2 s i n β x ) y=e^{\alpha x}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x) y=eαx(C1​cosβx+C2​sinβx)

y ′ ′ + p y ′ + q y = f ( x ) = e λ x P m ( x ) y^{''}+py^{'}+qy=f(x)=\boxed{e^{\lambda x}P_m(x)} y′′+py′+qy=f(x)=eλxPm​(x)​

假设 : y ∗ = R ( x ) e λ x 假设: y^* = R(x)e^{\lambda x} 假设:y∗=R(x)eλx

y ∗ ′ = R ′ ( x ) e λ x + λ R ( x ) e λ x , y ∗ ′ ′ = e λ x [ λ 2 R ( x ) + 2 λ R ′ ( x ) + R ′ ′ ( x ) ] {y^*}^{'} = R^{'}(x)e^{\lambda x}+\lambda R(x)e^{\lambda x}, {y^*}^{''}=e^{\lambda x}[{\lambda}^{2}R(x)+2\lambda R^{'}(x)+R^{''}(x)] y∗′=R′(x)eλx+λR(x)eλx,y∗′′=eλx[λ2R(x)+2λR′(x)+R′′(x)]

R ′ ′ ( x ) + ( 2 λ + p ) R ′ ( x ) + ( λ 2 + p λ + q ) R ( x ) = P m ( x ) R^{''}(x)+\boxed{(2\lambda+p)}R^{'}(x)+\boxed{(\lambda^{2}+p\lambda+q)}R(x)=P_m(x) R′′(x)+(2λ+p)​R′(x)+(λ2+pλ+q)​R(x)=Pm​(x)

R ( x ) R(x) R(x)是 m m m次的多项式, R ( x ) = b 0 x m + b 1 x m − 1 + … \boxed{R(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+\dots} R(x)=b0​xm+b1​xm−1+…​

R ′ ( x ) R^{'}(x) R′(x)是 m m m次的多项式, R ( x ) = x ( b 0 x m + b 1 x m − 1 + …   ) \boxed{R(x)=x(b_0x^m+b_1x^{m-1}+\dots)} R(x)=x(b0​xm+b1​xm−1+…)​

R ′ ′ x R^{''}{x} R′′x是 m m m次的多项式, R ( x ) = x 2 ( b 0 x m + b 1 x m − 1 + …   ) \boxed{R(x)=x^2(b_0x^m+b_1x^{m-1}+\dots)} R(x)=x2(b0​xm+b1​xm−1+…)​

可以设 y ∗ = x s e λ x [ H l ( x ) c o s ω x + Q l ( x ) s i n ω x ] y^*=x^s e^{\lambda x}[H_l(x)cos\omega x +Q_l(x)sin\omega x] y∗=xseλx[Hl​(x)cosωx+Ql​(x)sinωx]

如果 λ + i ω \lambda+i\omega λ+iω或者 λ − i ω \lambda-i\omega λ−iω为特征方程的特征根 s = 1 s=1 s=1

如果不是特征方程的特征根， s = 0 s=0 s=0

原式为 y ′ ′ − 2 y ′ − 3 y = 3 x + 1 = e 0 x ( 3 x + 1 ) y^{''}-2y^{'}-3y=3x+1=e^{0x}(3x+1) y′′−2y′−3y=3x+1=e0x(3x+1) 特征方程 y ′ ′ − 2 y ′ − 3 y = 0 , r 2 − 2 r − 3 = 0 y^{''}-2y^{'}-3y=0, \boxed{r^2-2r-3=0} y′′−2y′−3y=0,r2−2r−3=0​

( r − 3 ) ( r + 1 ) = 0 (r-3)(r+1)=0 (r−3)(r+1)=0

λ = 0 \lambda=0 λ=0不是特征方程 r 2 − 2 r − 3 = 0 r^2-2r-3=0 r2−2r−3=0的解， R ( x ) R(x) R(x)是 m m m次的多项式: R ( x ) = b 0 x + b 1 R(x)=b_0x+b_1 R(x)=b0​x+b1​

y ∗ = e 0 x R ( x ) , y ∗ ′ = b 0 , y ∗ ′ ′ = 0 y^*=e^{0x}R(x),{y^*}^{'}=b_0, {y^*}^{''}=0 y∗=e0xR(x),y∗′=b0​,y∗′′=0

带入原式得 { − 3 b 0 = 3 − 2 b 0 − 3 b 1 = 1 \begin{cases} -3b_0=3\\ -2b_0-3b_1=1 \end{cases} {−3b0​=3−2b0​−3b1​=1​

b 0 = − 1 , b 1 = 1 3 b_0=-1, b_1=\frac{1}{3} b0​=−1,b1​=31​

y ∗ = − x + 1 3 y^*=-x+\frac{1}{3} y∗=−x+31​

直接反复积分即可

设 p = y ′ p=y^{'} p=y′即可

设 p = y ′ p=y^{'} p=y′ y ′ ′ = d p d x y^{''}=\frac{dp}{dx} y′′=dxdp​

y ′ ′ = d p d y ⋅ d y d x y^{''}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx} y′′=dydp​⋅dxdy​

y ′ ′ = d p d y ⋅ p y^{''}=\frac{dp}{dy}\cdot p y′′=dydp​⋅p