本文详细推导了二维声波方程有限差分（Finite Difference Method,FDM）格式，提供了空间精度为2-16之间任意偶数阶的c++代码（时间精度2阶）。

在均匀介质中，二维声波方程的表达式为：

其中，$s(t)$为震源函数，$v$为声波速度。

令$u_{i,j}^k=u(idx,jdz,kdt)$,即在空间中选定合适的$dx,dz$为步长的空间进行网格化，而在时间上选定合适的$dt$为步长对时间进行离散化。

下面以时间二阶，空间二阶为例，对$u{i,j}^{k+1}$和$u{i,j}^{k-1}$利用Taylor公式展开可以得到：

将上面两式相加得到$u$对时间$t$的二阶偏导：

同理，可以得到$u$对$x,z$的二阶偏导：

将公式$(4)-(6)$回代入二维声波方程$(1)$，得到二维声波方程在时间二阶、空间二阶的有限差分格式：

化简：

同理可得到二维声波方程在时间二阶，空间2N阶的有限差分格式：

若化简合并$u_{i,j}^k$，则：

其中二阶导数的偶数阶精度有限差分系数如下表所示：

Notice：在实际编程中，采用式$(8-1)$的形式，因此上表中$C_0$项省略

采用雷克子波作为震源函数，其在时间域的表达式为：

对时间进行离散化后：

关于雷克子波的更多介绍，可参考地震学习笔记 | 雷克子波的认识 | Matlab代码。