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导数的应用
若一阶导数大于0，则单调递增；若一阶导数小于0，则单调递减；导数等于零的点为函数的驻点
若二阶导数大于0，则曲线是凹的；若二阶导数小于0，则曲线是凸的。曲线上凹凸性改变的点为曲线的拐点
如果函数的导函数在某一个区间内恒大与零（或恒小于零），那么函数在这个区间单调递增（或单调递减），这种区间就叫做单调区间；如果函数的二阶导函数在某一个区间内恒大于零（或恒小于零），那么曲线在这个区间是凹的（或凸的），这种区间就叫做凹凸区间
设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，在 ( a , b ) (a,b) (a,b)内可导，
如果在 ( a , b ) (a,b) (a,b)内 f ′ ( x ) > 0 f'(x)>0 f′(x)>0，那么函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上单调增加
如果在 ( a , b ) (a,b) (a,b)内 f ′ ( x ) < 0 f'(x) 0 f''(x)>0 f′′(x)>0，则 f ( x ) f(x) f(x)内图形是凹的
在 I I I内 f ′ ′ ( x ) < 0 f''(x)0 f′(x)>0；当 x ∈ ( x 0 , x 0 + δ ) x \in (x_0,x_0+ \delta) x∈(x0,x0+δ)时， f ′ ( x ) < 0 f'(x)0 f′(x)>0，则 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0处取得极小值
当 x ∈ ⋃ 0 ( x 0 , δ ) \displaystyle x \in \bigcup^{0}(x_0,\delta) x∈⋃0(x0,δ)时， f ′ ( x ) f'(x) f′(x)符号保持不变，则 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0处无极值
极值存在的第二充分条件 设函数 f ( x ) f(x) f(x)在它的驻点 x 0 x_0 x0处二阶可导，则
如果 f ′ ′ ( x 0 ) > 0 f''(x_0)>0 f′′(x0)>0，则 x 0 x_0 x0为极小值点
如果 f ′ ′ ( x 0 ) < 0 f''(x_0) |