1.平面点集 * n 维空间

二元有序实数组 (x,y) 的全体，即 R^2=R\times R=\left\{ (x,y)|x,y\in R \right\} 表示二维平面

（1）平面点集：

坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合

记作 E=\left\{ (x,y)|(x,y)具有性质P \right\}

在 R^2 中：

邻域的概念：

设 P_0(x_0,y_0) 是 xO y 平面上的一个点， \delta 是某一正数，，与点 P_0(x_0,y_0) 距离小于 \delta的点 P(x,y) 的全体，称为点 P_0 的邻域。记作 U(P_0,\delta) 。

即 U(P_0,\delta)=\left\{ P||PP_0|

（雅可比行列式：）

（就是线性代数中的克莱姆法则）

（把原来给出的两个函数改变成 u=u(x,y),v=v(x,y) 这种隐函数）

（注意：考虑到其运算的复杂性，一般不直接使用定理的结论，而是直接隐函数求导，例如直接对 x 求导，对方程组直接凑形式消元即可）

1.一元向量值函数及导数

空间曲线 \Gamma 的参数方程为 t\in [\alpha,\beta]

x=\varphi(t)

y=\psi(t)

z=\omega(t)

这个方程组可以改写成向量形式，即

若记 r = x i+ y j + z k

f ( t ) = \varphi(t) i + \psi (t) j + \omega (t) k

那么方程组就可以变成向量方程 r = f ( t ) t\in [\alpha,\beta]

定义1：

设数集 D\subset R ，则称映射 f:D\rightarrow R^n 为一元向量值函数，通常记为r = f ( t ) ，其中数集 D 叫定义域， t 是自变量，r 是因变量

定义2：

定义3：

2.空间曲线的切线与法平面

（1）

设空间曲线 \Gamma 的参数方程为 t\in [\alpha,\beta]

x=\varphi(t)

y=\psi(t)

z=\omega(t)

其中这三个函数都在定义域上可导，并且她们不同时为零。

则对于曲线上一点 M_0(x_0,y_0,z_0) ，对应的参数为 t_0 ，那么在这一点的切线方程为

\frac{x-x_0}{\varphi '(t_0)}=\frac{y-y_0}{\psi'(t_0)}=\frac{z-z_0}{\omega'(t_0)}

切向量：切线的方向向量

T = (\varphi'(t_0),\psi'(t_0),\omega'(t_0))

法平面：过这个点且与切线垂直的平面

\varphi'(t_0)(x-x_0)+\psi'(t_0)(y-y_0)+\omega'(t_0)(z-z_0)=0

（特殊情形： x=\varphi(t)=t ）

就是只有两个式子

y=\psi(x)、z=\omega(x)

那么 \varphi'(t_0)=1

（2）

设空间曲线 \Gamma 的方程为

F(x,y,z)=0

G(x,y,z)=0

点 M_0(x_0,y_0,z_0) 是曲线上一点，又设 F、G 有对各个变量连续的偏导数，且

J=\frac{∂(F,G)}{∂(y,z)}|_{(x_0,y_0,z_0)}\ne 0 ，此时在这一点的某一邻域内就有

\Gamma 可表示为

y=\varphi(x)

z=\psi(x)

代回原方程有

F(x,\varphi(x),\psi(x))=0

G(x,\varphi(x),\psi(x))=0

然后对 x 求全导，

解出

此时

切线方程：

法平面：

（有的时候直接套公式不如直接解上面的方程组）

（但是要注意找清楚谁是要求的，谁是已知的）

3.曲面的切平面与法线

定义：

设 M(x_0,y_0,z_0) 为曲面 \sum 上一点，如果 \sum 上过点 M 的任意一条光滑曲线在该点处的切线都在同一平面 \pi 上，则 \pi 叫切平面，过切点与切平面垂直的直线就叫法线。

情况1： F(x,y,z)=0

假定参数方程为

x=\varphi(t)

y=\psi(t)

z=\omega(t)

t=t_0 对应点 M(x_0,y_0,z_0) ，并且这三个函数的导数在该点不全为零，

曲线的切线方程：

\frac{x-x_0}{\varphi '(t_0)}=\frac{y-y_0}{\psi'(t_0)}=\frac{z-z_0}{\omega'(t_0)}

引入向量 n

n =(F_x(x_0,y_0,z_0),F_y(x_0,y_0,z_0),F_y(x_0,y_0,z_0))

该点处的切向量：

T = (\varphi'(t_0),\psi'(t_0),\omega'(t_0))

（并且 n 与 T 垂直）

切平面：

F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0

法线：

\frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}

情况2： z=f(x,y)

令 F(x,y,z)=f(x,y)-z

满足一系列连续存在不为零条件

在点处的：

法向量：

n =(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0),-1)

法线：

\frac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}

切平面：

f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)-(z-z_0)=0

或

z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)

对于第二个表达式，有全微分的几何意义：

右侧是函数 z=f(x,y) 在该点处的全微分，左侧是切平面上点的竖坐标的增量

如果用 \alpha、\beta、\gamma 表示法向量的方向角，并且假定 \gamma 为锐角，有方向余弦：

cos \alpha=\frac{-f_x}{\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}

cos \beta =\frac{-f_y}{\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}

cos \gamma=\frac{1}{\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}

情况3：

空间中任意一条曲线都可以看成两个曲面的交线，故方程为：

F=0,G=0

在曲线上取定一点 M ，就可以写出两个曲面在这一点的唯一切平面

求曲线在该点的切线，那么切线一定在这两个切平面上，就一定是这两个平面的交线。

将切线转化为交线的方向向量。

可以使用向量的叉乘来求解。

（1）偏导数

（偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率，但是需要讨论沿任一指定方向的变化率问题）

平面上一条射线的参数方程：

同方向的单位向量： (cos\alpha,sin\beta)

x=x_0+t cos\alpha

y=y_0+tsin\beta (t\geq0)

定义：

设函数 z=f(x,y) 在点 P_0(x_0,y_0) 的某个邻域 U(P_0) 内有定义， P(x_0+tcos\alpha,y_0+tsin\beta) 为一条射线 l 上的另外一点，并且 P\in U(P_0) 。

如果函数增量 f(x_0+tcos\alpha,y_0+tsin\beta)-f(x_0,y_0) 与点 P 点 P_0 之间的距离 |PP_0|=t 的比值

\frac{f(x_0+tcos\alpha,y_0+tsin\beta)-f(x_0,y_0)}{t}

当点 P 沿射线趋于 P_0 （就是 t\rightarrow 0^+ ）时的极限存在，那么就称这个极限为函数在 P_0 点沿着方向 l 的方向导数。记作 \frac{∂f}{∂l}|_{(x_0,y_0)}

展开式为：

\frac{∂f}{∂l}|_{(x_0,y_0)}=\lim_{t \rightarrow 0^+}{\frac{f(x_0+tcos\alpha,y_0+tsin\beta)-f(x_0,y_0)}{t}}

（定义推广至三元函数就是再增加一个维度）

几何意义：

就是函数 f(x,y) 在一点处沿着方向 l 的变化率

偏导数与方向导数的关系：

函数在这一点的方向导数存在，不能说明偏导数也存在。

（注意：定义的时候是射线 l ，也就是说，如果方向导数具体到偏导数，也就是沿着 x 轴或者 y 轴，如果沿着正向，那么就是偏导数，但是如果是沿着坐标轴负向，那么就是偏导数的相反数）

定理：

如果函数 f(x,y) 在点 P_0(x_0,y_0) 可微分，那么函数在该点沿任一方向 l 的方向导数存在，且有：

\frac{∂f}{∂l}|_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)cos\alpha+f_y(x_0,y_0)cos\beta

其中 cos\alpha,cos\beta 是方向 l 的方向余弦。

定理推广至三元函数：

函数 u=f(x,y,z) 在一点沿方向 l 的方向导数：

（满足类似的定理条件）

\frac{∂f}{∂l}=\frac{∂f}{∂x}cos\alpha+\frac{∂f}{∂y}cos\beta+\frac{∂f}{∂z}cos\gamma

（2）梯度

梯度用来考虑函数在点处哪一个方向增加速度最快

定义：

设函数 z=f(x,y) 在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数，则对 D 内任意一点 P_0(x_0,y_0) ，都可以定义一个向量：

\frac{∂f}{∂x} i + \frac{∂f}{∂y} j （或 f_x(x_0,y_0) i + f_y (x_0,y_0) j ）

称这个向量为函数在该点的梯度。记作 gradf(x_0,y_0)

（或 ▽f(x_0,y_0) ，其中记 ▽=\frac{∂}{∂x} i+\frac{∂}{∂y}j ，叫做（二维的）向量微分算子或 Nabla 算子）

（也可以继续推广到三元，再增加一个维度就可以）

梯度与方向导数的关系：

如果函数 z=f(x,y) 在 P_0(x_0,y_0) 可微分， e_i=(cos\alpha,cos\beta) 是与方向 l 同向的单位向量，那么

\frac{∂f}{∂l}|_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)cos\alpha+f_y(x_0,y_0)cos\beta

=gradf(x_0,y_0)\cdot e_i = |gradf(x_0,y_0)|cos\theta

其中 \theta 是梯度向量和单位向量的夹角

① \theta=0

两个向量方向一致，函数增加最快

（也说明这个梯度向量的方向是方向导数取最大值时候的方向，它的模就是方向导数的最大值）

② \theta=\pi

两个向量方向相反，函数减少最快，这个方向上方向导数是最小值

\frac{∂f}{∂l}|_{(x_0,y_0)}= -|gradf(x_0,y_0)|

③ \theta=\frac{\pi}{2}

两个向量正交，此时函数的变化率为零

\frac{∂f}{∂l}|_{(x_0,y_0)}=0

（显然，方向导数就是梯度在该方向上的投影）

（简单的记，沿梯度方向函数值增加最快，沿梯度相反方向减少最快）

几何意义：

几何上 z=f(x,y) 表示一个曲面，用平面 z=c 去截，曲面在这个平面上形成的曲线，再投影到 xOy 面上

这个曲线就叫等值线（等高线）

（就是 f(x,y)=c ）

（类似地理上的等高图，等温图，一圈一圈）

如果 f_x,f_y 不同时为零，则等值线 f(x,y)=c 上任意一点的法线斜率：

-\frac{1}{\frac{dy}{dx}}=\frac{f_y}{f_x}

（其中梯度是等值线上这一点的法向量，方向应该从数值较低的等值线指向数值较高的等值线）

（也可以推广至三元函数，就叫做等值面）

梯度的基本运算公式：

gradC= 0

grad(Cu)=Cgradu

grad(u \pm v)=gradu\pm gradv

grad(uv)=ugradv+vgradu

gradf(u)=f'(u)gradu

定义：

极值：极大值和极小值的统称

极值点：函数取得极值的点

（极值的概念可以推广到 n 元函数）

定理1：（二元函数极值存在的必要条件）

设函数 z=f(x,y) 在点 (x_0,y_0) 具有偏导数，，且在这一点处有极值，则有：

f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0

（从几何上讲，就是这一点的切平面是平行于 xOy 面的）

（从其形式就可以看出 z-z_0=0 ）

驻点：能使 f_x(x,y)=0,f_y(x,y)=0 同时成立的点

（极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点）

推广后：凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点

（注意：二元函数的极值点除可能在驻点处取得外，还可能在使得两个偏导数中至少一个不存在的点处产生，比如函数 z=|x| 它关于 x 的偏导数不存在）

定理2：（充分条件）

设函数 z=f(x,y) 在点 (x_0,y_0) 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又有 f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0 。令：

f_{xx}(x_0,y_0)=A

f_{xy}(x_0,y_0)=B

f_{yy}(x_0,y_0)=C

则 f(x,y) 能否取得极值的条件如下：

① AC-B^2>0

具有极值，且当 AA>0 时具有极小值

② AC-B^2