正定矩阵、二次型与椭圆椭球 |
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正定矩阵、二次型与椭圆椭球
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资料： 矩阵特征值和椭圆长短轴的关系 https://math.stackexchange.com/questions/1447730/drawing-ellipse-from-eigenvalue-eigenvector http://ee263.stanford.edu/lectures/ellipsoids.pdf 看题目，不要看最后一个答案（错误）
（1）、定义/充要条件1： X T A X > 0 X^TAX>0 XTAX>0。一般讲正定的时候会讲对称正定，即 A ∈ S + + n A \in S^n_{++} A∈S++n （2）、举例： 举例： a x 2 + 2 b x y + c y 2 = 1 ⟺ A = [ a b b c ] , X T A X = 1 ax^2+2bxy+cy^2=1\Longleftrightarrow A=\begin{bmatrix} a&b\\ b&c \end{bmatrix} , X^TAX=1 ax2+2bxy+cy2=1⟺A=[abbc],XTAX=1 （3）性质/充分必要条件2：对称正定矩阵 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺所有特征值大于0 简单证明下充分： x T A x ≥ 0 , A x = λ x , x ≠ 0 ⃗ x^TAx\ge0, Ax=\lambda x, x\ne\vec{0} xTAx≥0,Ax=λx,x=0 因此 x T λ x = λ x T x ≥ 0 x^T\lambda x=\lambda x^Tx\ge0 xTλx=λxTx≥0 又因为 x T x > 0 x^Tx>0 xTx>0 所以 λ > 0 \lambda>0 λ>0 (4)性质/充分必要条件3：各阶主子式>0 （4） PS： ∑ i λ i = t r ( A ) \sum_i\lambda_i=tr(A) ∑iλi=tr(A) 二、球与椭圆与椭球（1）椭圆 简单
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
a2x2+b2y2=1，两轴分别为x轴/y轴， 半轴长分别为a,b
⟺
\Longleftrightarrow
⟺    特征向量对应轴的方向；特征值决定半轴长：
1
λ
\sqrt{\frac{1}{\lambda}}
λ1
为半轴长 小的
λ
\lambda
λ对应的特征向量为长轴方向（小的倒数就大了，分母大了分子也得对应大–>变长轴 大的
λ
\lambda
λ对应的特征向量为短轴方向！！！另外，要注意，因为这里的半轴长是A的特征值倒数的开方，有点拗口，于是有些资料这么定义
x
T
A
−
1
x
x^TA^{-1}x
xTA−1x， 那么半轴长=
1
λ
A
−
1
=
λ
A
\sqrt{\frac{1}{\lambda_{A^{-1}}}}=\sqrt{\lambda_{A}}
λA−11
=λA
，
（2）球 定义： B ( x c , r ) = { x ∣ ∣ ∣ x − x c ∣ ∣ 2 ≤ r } = { x ∣ ( x − x c ) T ( x − x c ) ≤ r 2 } B(x_c,r)=\{x|\quad||x-x_c||_2\le r\}=\{x|(x-x_c)^T(x-x_c)\le r^2\} B(xc,r)={x∣∣∣x−xc∣∣2≤r}={x∣(x−xc)T(x−xc)≤r2} （3）椭球 ϵ = { x ∣ ( x − x c ) T P − 1 ( x − x c ) ≤ r 2 } \epsilon=\{x|(x-x_c)^TP^{-1}(x-x_c)\le r^2\} ϵ={x∣(x−xc)TP−1(x−xc)≤r2} P = P T ≻ 0 P=P^T\succ0 P=PT≻0即 P ∈ S + + n P\in S^n_{++} P∈S++n （注意到定义里用的是 P − 1 P^{-1} P−1符号，则半轴长是P的特征值开方，即 P − 1 P^{-1} P−1特征值倒数的开方而不是P特征值倒数的开方） 可以识别球的更一般形式（加权，旋转），也可以视为椭圆的更高维度形式 |
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