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解析几何 曲线与二次曲面 二次曲面的分类(2.3)

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解析几何 曲线与二次曲面 二次曲面的分类(2.3)

2024-02-15 01:42| 来源: 网络整理| 查看: 265

一.二次曲面 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 二.二次曲面的旋转不变量 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 三.特征方程和特征根 1.特征根(特征值)与主方向(特征方向,特征向量): 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 2.不同直角坐标系下的主方向: 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 3.二次曲面的标准形式:

引理1:非零实对称矩阵 D D D的特征根全是实数 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

引理2:非零实对称矩阵 D D D的3个特征根至少有1个不为0 在这里插入图片描述

引理3:可以选择对应的3个特征根(实根)的主方向,使得它们互相垂直 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

定理1:经过适当的坐标变换, Φ ( x , y , z ) Φ(x,y,z) Φ(x,y,z)总可以化为标准形式 λ 1 x ∗ 2 + λ 2 y ∗ 2 + λ 3 z ∗ 2 λ_1x^{*2}+λ_2y^{*2}+λ_3z^{*2} λ1​x∗2+λ2​y∗2+λ3​z∗2,其中实数 λ 1 , λ 2 , λ 3 λ_1,λ_2,λ_3 λ1​,λ2​,λ3​是系数矩阵 D D D的3个特征根 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

四.二次曲面方程的化简与二次曲面的分类 1.二次曲面化为标准形式的过程 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 (1)特征根均不为0: 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 (2)特征根有且仅有1个为0: 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 (3)特征根有且仅有2个为0: 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 2.分类 (1)二次曲面的分类:

定理2:二次曲面化为标准形式,一共有17类 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

(2)二次曲线的分类:

定理3:平面上二次曲线一共有9类:椭圆,虚椭圆,双曲线,1点,2条相交直线,抛物线,2条平行直线,2条虚平行直线,2条重合直线 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述



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