我们先来看个图

二元函数的连续、可导、可微问题一直令众多同学感到头疼，但又是选择必考的考点之一。下面我们将对二元函数的连续性、可导性、可微性进行讨论，以期得到一定的规律

对一元函数来说，可导必连续，但在多元函数中，这一重要关系不再保持，连续与可导之间没有必然的联系。比如下面这个函数

在(0,0)有

由于fx、fy均存在，当动点沿着直线y=0趋近于原点时，limf(x,0)=0，当动点沿着直线x=0趋近于原点时，limf(0,y)=limf(x,0)=0。然而，这个函数在(0,0)的极限其实是不存在的

由于k为任意常数，k/(k^2+1)非定值，极限不存在

本例说明，在多元函数中，函数在一点处的连续性已不再是函数在该点偏导数存在的必要条件了

事实上，f'x(x0,y0)与f'y(x0,y0)的存在，只反映了f(x,y)沿平行于x轴与平行于y轴两个特殊方向在P0(x0,y0)处的变化率，相当于一元函数f(x,y0)和f(x0,y)连续，但这并不能保证动点P(x,y)以任何方式趋向于点P0时，f(P)都趋向于f(P0)。注意，这个任意方式中，x与y的函数关系真的可以是任意函数，比如

沿y=x^3趋近于(0,0)时，limf(x,y)=∞，沿y=x^2趋近于(0,0)时，limf(x,y)=1，所以极限不存在

再来看可微

可微必连续，但反之不真，比如

它在(0,0)处是连续的，且可导

但是它不可微

极限不存在，Δz-AΔx-BΔy不是高阶无穷小，不可微

不过可微一定连续，因为

那么可微的条件是什么呢

必要条件

不过与一元函数不同，偏导数的存在并不能说明函数可微

如果f'x(x,y)与f'y(x,y)连续，那么函数f(x,y)必可微，但其逆不真

学了格林公式之后，我们就能理解这个全微分的充分条件了

如果该式为u的全微分，则

也就是uxy=uyx，它需要u'x和u'y连续

验证在整个xoy面内，xy^2dx+x^2ydy是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数

δP/δy=δQ/δx=2xy

所以得证

原函数为u=x^2*y^2/2

二元函 数的偏导数与全微分在多元函数的微积分学理论 中非常重要，且有关问题要比一元函数复 杂得多，希望同学们能够好好掌握