二次函数及其图象的性质(对称轴、顶点、最值、开口方向) |
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二次函数“y=ax^2+bx+c(a≠0)”的对称轴公式为:x=-b/(2a)。 二次函数“y=ax^2+bx+c(a≠0)”的图象特点 1、图象都是抛物线 当a>0时,抛物线的开口方向向上;当a 2、二次函数“y=ax^2+bx+c(a≠0)”图象的对称轴 二次函数“y=ax^2+bx+c(a≠0)”的图象都有一条过抛物线的顶点的对称轴,并且对称轴所在直线方程为“x=-b/(2a)”。 (1)当a>0时,抛物线的开口方向向上,对称轴过抛物线的最低点; (2)当a 【注】不论抛物线的开口方向向上还是向下,其对称轴都过抛物线的顶点(最高点或最低点)。 3、二次函数“y=ax^2+bx+c(a≠0)”图象的顶点坐标 把“y=ax^2+bx+c(a≠0)”配方后得“y=a[x+b/(2a)]^2+(4ac-b^2)/(4a)”。所以,其顶点(最高点、最低点)坐标为(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a)),函数值的最值为(4ac-b^2)/(4a)。 (1)当a>0时,抛物线的开口方向向上,此时二次函数“y=ax^2+bx+c (a≠0)”的图象有最低点,函数值(y值)有最小值:(4ac-b^2)/(4a)。 (2)当a0时,抛物线的开口方向向下,此时二次函数“y=ax^2+bx+c (a≠0)”的图象有最高点,函数值(y值)有最大值:(4ac-b^2)/(4a)。 知识拓展 如果一个函数的图象以y轴为对称轴,则这个函数又被称为偶函数。 因此,当二次函数“y=ax^2+bx+c (a≠0)”的对称轴(x=-b/(2a))与y轴(x=0)重合时,就变成了偶函数。此时,由直线“x=-b/(2a)”和直线“x=0”重合可得:“-b/(2a)=0”,解得b=0. 反之,当b=0时,二次函数“y=ax^2+bx+c(a≠0)”的对称轴方程为x=-0/(2a)=0。此时二次函数“y=ax^2+bx+c(a≠0)”以y轴为对称轴,所以为偶函数。 综上可得,二次函数“y=ax^2+bx+c(a≠0)”是偶函数的充要条件是“b=0”. 【注】二次函数中的偶函数往往具有“y=ax^2+c(a≠0)”或“y=ax^2(a≠0)”的解析式形式。 例题解析 【例题】 求二次函数y=2x^2+4x-3的开口方向、对称轴、最值、是否为偶函数。 解:显然a=2,b=4,c=-3. (1)因为a=2>0,所以此二次函数图象对应的抛物线开口向上。 (2)因为x=-b/(2a)=-4/(2×2)=-1,所以此二次函数对称轴的直线方程为x=-1. (3)因为二次函数y=2x^2+4x-3图象的开口向上,所以函数图象只有最低点,对应的函数值(y值)有最小值。最小值为(4ac-b^2)/(4a)=[4×2×(-3)-4^2]/(4×2)=-5. 所以,二次函数y=2x^2+4x-3的函数值只有最小值,最小值为-5. (4)【解法一】由“(2)”知,二次函数y=2x^2+4x-3的对称轴所在直线方程为x=-1,不以y轴为对称轴,所以二次函数y=2x^2+4x-3不是偶函数。 【解法二】因为“二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0),是偶函数的充要条件是b=0”。由二次函数解析式“y=2x^2+4x-3”得b=4≠0,所以二次函数“y=2x^2+4x-3”不是偶函数。 一线教育名师,其它相关“二次函数对称轴公式”、“二次函数及其图象性质”的中学数学问题,可以点击下方卡片提问并及时获得针对性咨询。 0是偶数吗? |a-b|怎样取绝对值符号 四边形对角互补吗?四边形的“对角互补”问题 特别声明:以上文章内容仅代表作者本人观点,不代表新浪网观点或立场。如有关于作品内容、版权或其它问题请于作品发表后的30日内与新浪网联系。 |
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