向量之间的叉乘和点乘,概念易混淆,分别不清楚,因此本文专门对这个概念进行了详细分析介绍。首先,介绍一下向量(Vector),在几乎所有的几何问题中,向量(有时也称矢量)是一个基本点。向量的定义包含方向和一个数(长度)。 在二维空间中,一个向量可以用一对x和y来表示。向量:既有方向又有大小的量。通常情况下会将向量放到坐标系中,常用的是笛卡尔坐标系,向量起始点通常放到原点(注:没有固定的起点,只要方向相同,大小相等,就认为两向量是相同的,但为了用数值坐标来表示向量,将起始点放到原点)
一、点乘 (Dot Product)
向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。点乘,也叫数量积。结果是一个向量在另一个向量方向上投影的长度,是一个标量。 假设向量a和向量b: a和b的点积公式(要求一维向量a和向量b的行列数相同)为:
对应点乘的几何意义为
点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式: a·b = |a||b|cos(θ) θ是向量a和向量b见的夹角。这里|a|我们称为向量a的模(norm),也就是a的长度, 在二维空间中就是|a| = sqrt(x2+y2)。这样我们就和容易计算两条线的夹角: cos(θ) = a·b /(|a||b|) 对于推导过程可以稍微利用余弦定理如下, 首先看一下向量组成: 定义向量: c = a - b 根据三角形余弦定理有: 根据关系c = a - b(a、b、c均为向量)有: 向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ: 根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为: a·b>0 方向基本相同,夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交,相互垂直 a·b |