高等数学:第二章 导数与微分(5)隐函数的导数,由参数方程所确定的函数的导数 |
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§2.6 隐函数的导数,由参数方程所确定的函数的导数 一、隐函数的导数 1、显函数的概念 函数 2、隐函数的概念 在二元方程 例如, 把一个隐函数化成显函数,叫做隐函数的显化。 例如,可将上述方程中的 一般来说,将隐函数显化是有一定困难的,有时甚至是不可能的。 例如,二元方程 例如,在 当 计算得到 据零点定理,在(3,4)内有一零点,利用两分法可求得
既然二元方程可确定一个一元(隐)函数,隐函数导数又该如何求呢? 如果能将此隐函数显化,求导自然不成问题。如果隐函数不能显化,有没有直接地求导方法呢? 有的,下面用一个例子来介绍这一方法。 3、隐函数的直接求导法 左边的导数为 右边的导数为 这两个导数应相等,于是有 解出 【例2】求椭圆 解:方程两边对
将 切线方程为 【例3】求由方程 【解法1】 上式两边再对
【解法2】对 4、对数求导法 先对 【例4】求 解: 两边对 【例5】求 解: 二、由参数方程所确定的函数的导数 我们知道,函数 参数方程 反过来说, 此参数方程也确定了一个 一般地,参数方程 如何求由参数方程(1)所确定的函数导数 对于参数方程 可以想象:由函数 于是, 可运用复合函数与反函数求导法, 进行如下求导。
或 (2)式便是我们希望寻找的求导公式,当然,它的成立是需要一些条件: 【1】函数 【2】函数 对(2)关于
书上给出了这一公式,要准确而长久地记住它,并不容易。解题时,应少套这一公式,多摸仿这一公式的推导过程。 【例6】 求参数方程 解:
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