我们经常可以看到这样的问题： \frac{1}{x} 的不定积分到底是什么？要不要加C，要加几个C？还有这样的问题：为什么我不定积分计算出来的东西和答案不一样，但是求导确实是原来的函数？这样的问题来来回回问，也许永远没有结果。所以我决定写一个从围道积分角度看不定积分的文章，可能解决不了任何问题，但是至少可以让陷入不定积分泥潭的同学们看到一点希望。

出现“不定积分结果与答案不一样”的问题基本上都是反三角函数公式不熟练造成的，在高数里面我们学习的是魏尔斯特拉斯钦定的五个基本初等函数，平常看见的初等函数都是这些函数加减乘除复合而成的，它们是：

在复变函数里面，因为欧拉公式连接了指数和三角，所以4、5可以划归到2、3里面去，而幂函数其实本来就是指数函数和对数函数复合的结果( x^a=e^{a\ln x} )，所以最基本的其实就是指数函数和对数函数。三角函数完全可以用指数函数替代，即

\displaystyle \sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}

这个已经被说烂了。对数函数稍微复杂一点，我们用 \ln x 表示原来实变的对数函数，它的定义域就是正数，用 \text{Ln} z 表示复变里面的对数函数，它的定义域就拓宽到复数了，有如下计算方式：

\displaystyle \text{Ln}z=\ln|z|+iArg(z)

\text{Ln} z 是多值函数，其多值性表现在 Arg(z)=arg(z)+2k\pi 上面，其实基本函数里面也就对数函数一个是多值函数，有人会说根号啊什么的，其实前面说了，幂函数本身是由对数函数复合而成的，所以其反映的还是对数函数的多值性。

反三角函数就有趣了，其实我懂作为大学生，大家对函数的概念其实也就停留在高中，对反三角函数有种莫名的陌生与恐惧，比如说下面的一个简单的公式，你能主动想到吗：

\displaystyle \arctan x+\arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}

但是在复变里面反三角直接没有了，用对数函数代替了：

\displaystyle \text{Arcsin}z = -i\text{Ln}(iz+\sqrt{1-z^2})\\ \text{Arccos}z = -i\text{Ln}(z+i\sqrt{1-z^2})\\ \text{Arctan}z = \frac{1}{2i}\text{Ln}(\frac{i-z}{i+z})

有了这个式子，上面那些公式都可以转化为对数函数计算了，比如

\displaystyle \arctan z+\arctan \frac{1}{z} = \frac{1}{2i} \text{Ln} \left(\frac{(i-z)(i-1/z)}{(i+z)(i+1/z)}\right)=\frac{1}{2i}\text{Ln}(-1)

当然可能有一点限制，大家想想限制是什么。上面的式子需要我们代入-1的值，这里取其幅角为 \pi

\displaystyle \frac{1}{2i}\text{Ln}(-1)=\frac{1}{2i}(\ln|-1|+i\pi)=\frac{\pi}{2}

这就直接算出上面的公式了。同样的，在计算积分之后就全部化成对数函数就行了，不会存在任何其他形式，举一个最简单的例子

有人问： \displaystyle \int \frac{1}{1+x^2}\text{d}x 算出来究竟是啥？我们看看

\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2}\text{d}x=\arctan x+C 是毋庸置疑的

\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2}\text{d}x = \frac{1}{2i}\int \frac{1}{x-i}-\frac{1}{x+i}\text{d}x=\frac{1}{2i}\text{Ln}\left(\frac{x-i}{x+i}\right)+C

跟上面就差一个负号，自动跑到C里面去了，其他的积分情况也是一样，本质上都是对数函数，根本没有反三角什么事情。(当然，在最后求结果的时候需要考虑复数的幅角，找一个单值的全纯分支，但是不定积分的时候情况就很麻烦，这里先不取分支化简了)

有人会说：“又吸收到C里面去了，C就跟个垃圾堆一样，我怎么知道什么常数应该往里面塞？”所以我接下来提供一种从围道积分角度看不定积分C的看法，具体而言就是围道起始的点和围道本身决定了这个C

\displaystyle \int f(x)\text{d}x=F(x)+C \sim \int_C f(z) \text{d}z

我们首先想一下不定积分到底在什么地方用到了。仔细想想，我只能想到两个地方：牛顿莱布尼茨公式与分部积分法。然而后者最后还得代值算牛莱，所以其实也就只有一种情况。

如果有人说“考试时候会考不定积分”，认为考不定积分是不定积分的应用，那我只能说句说的道理了(。回到正题，不定积分的用处是代入牛莱计算，那我不如直接用变上限积分来替代不定积分不就行了？如下：

\displaystyle \int f(x) \text{d}x \to \int_a^x f(z)\text{d}z

不论是从牛顿-莱布尼茨的角度还是从分部积分的角度来看，变上限积分都能完全胜任，以我的经验来说，从应用上面来讲，变上限积分完全可以替代不定积分。这看起来差别不大，但是背后的思想是完全不同的

综上，变上限积分总是比不定积分好，有充足的定义和意义，有唯一的答案，能兼容不定积分所有的性质与运算，在牛莱公式和分部积分里面可以完全取代不定积分。

但是有人会问这样一个问题“那你的常数a究竟应该取啥呢？”，我们觉得，这里的常数a的地位似乎与不定积分里面的C是一样的，我们可以随意取积分的起点，每取一个固定的起点，就得到了一个确定的有意义的原函数，让这个起点动起来，我们就得到了一族原函数，这让我们至少知道两点：这里的“C”究竟是什么意思(函数的“根”在哪里)，整个积分的过程(或路径)是什么样的(函数的“茎”是什么样的)。

但是这里有一个巨大的破绽：a的取值并不是完全任意的，其受x的限制。比如，我现在就想用变上限积分表示 \frac{1}{x} ，那我能选择 a=-1 吗？

\displaystyle \int \frac{1}{x} \text{d}x \to \int_{-1}^x f(z)\text{d}z \ \ \ ????

如下图所示

这明显是不行的，因为当 x >0 的时候我们会遇到0这个奇点，有人用打补丁的办法抢救不定积分：

\displaystyle \int \frac{1}{x} \text{d}x =\ln x+C_1 (x>0)

\displaystyle =\ln (-x)+C_2 (x

复变函数的积分是围道积分，就是选取一条路径C，让要积分的函数在这条线上面走，我们讨论半纯函数，所以两点间总有一条线上面是没有奇点的。如图所示，我们直接走0不通，可以选择复变飞升，从上面走，其实选择线的差别并不是很大，因为大家知道根据柯西积分公式，只要这个围道不要绕着奇点转圈，也就是缠绕数为0，那么两点之间的积分是与路径无关的。意思就是说，现在我们可以在整个复平面上面任意选择a，我们叫它P吧，从P随便画一个不经过0的围道跑到x，那么这个围道积分也就对应原本的不定积分，也就是说

\displaystyle \int \frac{1}{x} \text{d}x \sim \int_{C:P\to x} \frac{\text{d}z}{z}=\text{Ln}(x)-\text{Ln}(P)

后面那个P我们先不去管，然后因为x在实轴上，我们取其幅角为0(正实轴)或者 \pi (负实轴)，那么就有

\displaystyle \int \frac{1}{x} \text{d}x \sim \int_{C:P\to x} \frac{\text{d}z}{z}=\ln|x|+i\text{arg}(x)-\text{Ln}(P)

这个结果与不定积分的结果是一样的，而且不需要分段，什么 C_1,C_2 的，都是没有啥意义的，从本质上来说所谓的积分常数就是选取的围道不同而已(所谓围道不同，意思是起点不同+路径不同)，我们简单的取P=1，那么结果是

\displaystyle \int_{C:1\to x} \frac{\text{d}z}{z}=\ln|x|+i\text{arg}(x)

如果取P=-1，那么结果是

\displaystyle \int_{C:-1\to x} \frac{\text{d}z}{z}=\ln|x|-i\pi+i\text{arg}(x)

所以说我们甚至有

\displaystyle \int_{C:-1\to 1} \frac{\text{d}z}{z}=-i\pi

所以说一个简单的 \displaystyle \int_{C:P\to x} \frac{\text{d}z}{z}=\text{Ln}(x)-\text{Ln}(P) 就可以完全概括所有的不定积分分段结果(取绝对值？只是取复数的模而已，很奇怪吗？)

围道积分是变上限积分的升级版，我觉得它做的比不定积分本身还好，所以我们可以说，所谓的不定积分实际上就是变围道积分，这里的不定常数C其实就是依赖围道的选取而已，大家说的“局域常数”也没有什么问题，但是我觉得用变围道的角度看会更容易理解一些。

那么说了这么多，有啥实际用处吗？其实并没有太大的实际用处，只是提供了一个新的角度而已。复变函数远比这里说的复杂，至少有两个重要的东西：留数和分支，在这里并没有太关注，大家看一乐就好。

最后说几句实在话：纠结不定积分不如去看裴礼文，有时间纠结不如往后学，有奇点堵着不如绕过去，说不定多绕几圈又会出来一个新的世界。