Apollonius' Problem 原述：设有3个图形，可以是点、直线或圆，求作一圆通过所给的点（如果3个图形中包含点的话）并与所给直线或圆相切。事实上，总共有10种可能情形，其中与已知3点相切者，便是外接圆；与已知3直线相切者，便是内切圆或旁切圆；而最著名的是与已知3个圆相切的问题。

（不难发现，所求作的一般都是圆。点与其他、直线与直线都没有与谁相切一说，而直线与圆的相切也太过简单，所以都不予讨论。）

当然，这个问题可以有许多更简单或者更难的特殊情况和变式，比如限制给定图形，限制切点位置，限制相切方式，限制所求圆圆心，限制所求圆位置等。我们从最简单的开始，逐渐深入，探寻几何作图的乐趣。

注：P=point=点，L=line=线，C=circle=圆

------部分作法来源于书籍与网络。辅助工具：Euclidea、Geogebra。结尾有许多彩蛋！

当三点存在重合时，有无穷多解。

当三点不重合时，容易发现，其为三角形的外接圆。通过中垂线，不难作出。

皆互相平行无解；存在重合则多解。

1.皆不平行

即为作三角形的内切圆和旁切圆，作两内/外角平分线可得对应的圆心。有4解。

2.有两条线平行

与旁切圆同样地，作两条角平分线即得圆心。有2解。

两点重合有多解；两点不重合且都在线上以及分别在异侧皆无解。

1.一点在线上

过线上点作直线垂线，再作两点中垂线，即得圆心。

2.两点都在线同侧

作两点中垂线（如果两点连线与给定线平行，则直接以垂足与一给定点当成三.1处理），在直线上任取点作垂直以作出一个切圆，再用平行构造位似三角形（若中垂线平行于给定直线，直接过点作平行即可）。有2解。

（另一种作法，作过两点的圆，两点所在直线与给定线的交点向圆作切，通过切点找到所求圆两切点）

存在性与两点一线类似，线改成圆即可。

1.一点在圆上

过圆上点作连心线，再作两点中垂线即得圆心。

2.两点都在圆同侧（*重点）

作两点中垂线，再以中垂线上任一点为圆心作过两点的圆，作出两圆根轴发现与两点所在直线交于定点，由定点向给定圆引两条切线，切点与圆心连接即可找到圆心。有2解。

（思考这种作法的合理性）

两线重合有多解；两线平行时点在平行线之外无解。

1.两线不平行，点在线上

过点作直线垂线，再作角平分线即得圆心。有2解。

2.两线不平行，点不在线上（*重点）

①点不在角平分线上

仿前文三.2作法，使用位似。有2解。

（或类似三.2另一种方法，过点作关于角对称的最小圆，垂直于角平分线的线与给定线交点向其作切，由切点找到所求圆切点）

②点在角平分线上

位似法此时无法使用。则可仿照五.2.①的另一种方法，但是圆退化成点，切线变为角平分线垂线，过切点的圆改为过给定点的圆。亦有2解。

3.两线平行

①点在线上

直接作以两线距离为直径的切圆即可。有1解。

②点不在线上

作平行线的等距线，作一个切圆，再用平行全等构造。有对称的2解。

（简单的部分已经结束了，现在进入稍微难一些的部分）

两圆重合有多解。

（按照点的相对位置分别讨论。情况七同此）

1.点在圆上

如果点不在连心线与圆的交点处，作出两圆一个位似中心，连接给定点，交另一圆于两点，这两点中总有一点为所求圆切点（跳跃位置为公切线切点处）。另一个位似中心类似。

如果点在连心线与圆的交点处，直接作其与另一圆的此类交点中合适的点的中点即圆心，图略。

根据给定点是否在两圆公切线切点上，解的个数很不一样。如两圆外离为1或2解；外切为无解、1或无穷多解；相交为无解、1或2解；内切为1或无穷多解；内含为2解。

交点一个为切点，另一个为给定点连心线平行线交点

2.点不在圆上且不在连心线上

如图作出两个外接圆（内内，外外），两外接圆交于另一点。不难证明以此构造的解一定过该点，则任选一圆使用四.2中方法即可。另一对外接圆（内外，外内）亦有对应解，注意此情况内接圆的取点。

（某些位置的两外接圆交点会重合，则把连接这两点的步骤改为作切线即可。亦可用两给定圆的外（内）位似中心代替其中一外接圆作出另一交点，同时避免了上述问题）

内切与外切情况时，有一个解可以直接通过与两圆公切点作中垂线得到圆心。

根据给定点是否在两圆公切线上等，解的个数复杂多变。如两圆外离为无解、2或4解；外切为无解、1或3解；相交为无解或2解；内切为无解、1或3解；内含为无解、2或4解。

感觉很复杂，其实就是基本法

3.点在连心线上（且不在圆上）

容易发现，上面方法中的外接圆退化成了连心线，无法使用。不过，还有一种稍复杂的通法可以避免这个问题，并且兼容上面的部分情形。

找到一条（外）公切线的两个切点，作其与给定点的外接圆，交连心线于另一点，易知以此构造的解亦过该点，接着任选一圆使用四.2中方法即可。另一种（内）公切线类似。

（相当于用另一种外接圆替代了此时不可用的前一种）

若公切线不存在，则直接作连心线在位似中心的垂线，切点变成其与圆的合适的交点。

同样地，内切与外切情况时，有一个解的圆心为给定点与两圆公切点的中点。

根据给定点是否在两圆位似中心上，解的个数依然不同。两圆外离为无解、2或4解；外切为1或3解；相交为无解或2解；内切为1或3解；内含为无解或4解。

有些元素离得很近，注意区分

也是两方法结合体，画幅都很巨大

点和圆分别在线两侧、点和线分别在圆两侧皆无解。

1.点在线上（且不在圆上）

过点作垂线，上面任取一点作过给定点的圆，作出两圆根轴，不难发现与给定线交于定点，以该点为圆心作过给定点的圆，交给定圆于两点，与给定圆心连即可找到所求圆圆心。给定线与给定圆相切时只有1解，其余情况有2解。

2.点在圆上

作一条切线，在其与直线交点处作两条角平分线，交到给定点与圆心所在直线的两个点，即为圆心。根据连心直线是否垂直于给定线，给定线是否相切或相交于圆等情况，可能无解、有1解、2解或无穷多解。

3.点在线与圆之间

过圆心作给定线垂线，作过垂足、与圆的一个交点、给定点的圆，连接给定点与另一个交点交外接圆于另一点，容易知道以此构造的两个解必过该点。则该问题变成PPL或PPC问题，仿三.2或四.2方法即可。根据线圆位置，点圆位置等，可能有2、3或4解。

依次为set-up PPL和PPC作法

两线重合有多解。

1.两线不平行

①圆与线无相切，圆心不在角平分线上

使用放缩法。将两线向同侧平移给定圆半径的距离，此时圆退化成一点，即成为PLL问题，（选合适的角平分线）仿照五.2.①作法即可，注意最后要将所求圆放缩回来。

两条直线将平面分成4个象限。根据圆所在的象限数量，可能会有4（占1或2个象限）或8（占3或4个象限）解。

示4解与8解两种情形

②圆与线无相切，圆心在角平分线上

对圆与角平分线的（2个）交点使用五.2.②作法得4解。同理地，可能有4或8解（在8解的情况下，若圆心不在两线交点处，其余4解仍需要使用八.1.①的方法）。

③圆与线相切

使用五.1方法先找到2解的圆心，再使用八.1.①或②方法得到余下解（如果有）。根据圆和切点的位置，可能有2、4或6解。

2.两线平行

圆（完全）在两线之外无解。

同样使用放缩法，转化成五.3问题，找到解的圆心。可能有1、2、3或4解。

作1解示意图，并示4解的情况

两圆重合有多解。

1.图形不存在相切

两圆在线两侧、线和一圆在圆两侧皆无解。

亦使用放缩法，将较大一圆*半径放大或缩小较小圆半径的长度，并将给定线向其两侧任一方向平移相同长度的距离，显然共4种组合，且每一组合较小圆圆心与构造的直线和圆皆构成PLC问题，仿照七.3方法后放缩回去，可作出所求的其中2解**（如果对应的PLC问题有解）。除去无解情况，三个图形一共有0或6交点时最多有8解，有2或4交点时最多只有4解；且若给定线与两圆一条公切线平行，则会减少1解。

*若两圆半径相同，则问题中的部分组合可能需要转化成PPL问题解决。

**本来PLC问题一般情况应有4解，但此处总会有2解不合题，注意内切圆的取点情况。（不合题的原因是此时放缩回的圆会与反方向的等距图形相切。）

放缩法作一组2解示意；4解情况及2种8解情况示意图

2.图形存在相切

如果三个图形切于同一点，则有多解。

使用放缩法之后，圆与线相切部分会成为PLC点在线上的问题，圆与圆相切部分则会成为PLC点在圆上的问题，这些部分（一般可能是0、1或2解）要参考七.1或七.2的作法，其余部分仍是九.1的情形。解的个数按各部分数量累加。

另.一些特殊情况

留做习题自行思考（提示：尽量简化步骤）。

（ ~ 正 片 开 始 ~ ）

狭义的阿波罗尼奥斯问题亦常特指这种情况，因为其最具有综合性与挑战性。

解的情况：当两圆完全在第三圆两侧时无解（包括第三圆与内含的两圆外离、三圆互相内含两种情况）；其余情况下，三圆共有0或6交点时最多有8解，有2或4交点时最多只有4解；若两圆切一次，则会减少2解、不变或增加2解（具体根据切的方向和非切点交点数而定）；若三圆共一条公切线，则会减少1解（共一个位似中心则会少2解）。特别地，三圆切于同一点时，有多解。

此处给出数种经典的方法。

1.一般情况通法

①放缩法（韦达方法）

将最大和次大的两圆半径放大或缩小最小圆的半径长度，显然亦有4种组合（皆放大，皆缩小，一放一缩或相反），且最小圆的圆心与两放缩圆构成PCC问题*。如果一组放缩组合对应的PCC问题有解，仿照六.2（存在圆相切或共连心线等时用六.1或六.3）方法后再放缩回去，可得到其中两解**。

*若存在有圆半径相等的情况，则可能成为PPC甚至PPP问题，需仿照这两种的方法解决。

**与九（LCC）放缩后的现象类似，虽然一个PCC问题通常有4解，但是在此也总有2解放缩回去后不合题，需要选择合适的作外接圆的位置。

用该方法把0、6、2、4交点的解放一起：（8844）

看个大概就行...

②反演法（热尔岗方法）

连接三圆两两（外）位似中心（易知这3点共线，所以连2个就够了），即一条（外）位似轴；接着作出三圆根心（三圆两两根轴交于一点）；再作出位似轴关于三圆的极点（圆心向位似轴作垂直，垂足向对应圆作切，两切点连线与垂线的交点）；最后连接根心与三个极点，分别交相应的圆于两点，则靠近与远离根心的两组3个点分别确定了两解（若存在）。

（不难发现，位似轴亦是这2解的根轴）

另外6解（若存在）则由3条内位似轴确定，一条内位似轴则由三圆中任两组两圆的内位似中心确定（这条轴还过第三组两圆的外位似中心）。

（因作反演变换的操作过于繁杂，此方法不放全图）

③反演法（极线作切法）

与法②前半部分类似，只是作完根心之后，变为作根心关于三圆的极线（两切线与圆交点连线），极线与位似轴交点向对应的圆再作切，这些切点亦即为解圆与给定圆切点。

（不难发现，由根心作出的6切点共以根心为圆心的圆）

一张8解全图：

（思考：前文的其他五种含C的情况是否亦可用反演法类似解决）

④三次位似（《圆之吻》作者莫海亮方法）

先作出位似轴，再在一圆上取一任意点，与该圆参与的一个位似中心连接，与另一圆的逆位似交点（这条线与另一圆的两交点中，一交点与一开始的点位似，叫做位似点，另一个点则称逆位似点）当成下一个任意点，选取另一个位似中心重复上述步骤，得到的交点再重复一次，发现此时的交点回到起始圆上，则与取的任意点相连，其与位似轴的交点向这个圆作切，两切点分别为2解的一个切点。对3给定圆都进行以上整个操作则可得到全部的切点。

该方法似乎适合单尺作图（所求圆圆心）（慎玩，蜘蛛网警告）。

作一组切点和切圆示意。后者有蹭线的操作

算了，还是放一张蜘蛛网吧，满足一下各位的好奇心（）

2.特殊位置解法

①索蒂圆（Soddy circles）

以三个不同点为圆心作三个彼此相切的圆，若两两的切点是三个不同的点，则有两个圆与这三个圆都相切而这两个圆不相交，这两个圆称为索蒂圆。

一种方法：连接两圆与第三圆的切点，与这两圆连心线的交点向第三圆作切（亦可表述为两圆啥切就找啥位似中心向第三圆作切），两切点分别为所求两圆的一个切点。对三圆皆进行一次上述操作即可得到所有的切点（作出所求圆则得到两个切点即可）。

（索蒂圆相关还有许多其他有趣的性质，可以自行探究）

②鞋匠刀形（Arbelos）

三圆心共线不共点且三圆两两相切，作圆与这三圆都相切，可以视为作特殊的索蒂圆。一种作法是在垂线与最大圆交点作一个根号2倍最大圆半径的圆，交较小两圆的另两个点即为切点。一般有对称的两解。

③莱洛三角形（Reuleaux triangle）

补全莱洛三角形所在圆，作与这三个圆相切的圆。留做思考题。

阿波罗尼奥斯问题的十种情况到此就结束了。

总结：这类问题相当于找各种二次曲线的交点。将两个图形看成定的，那么与它们相切圆的圆心轨迹就是各种二次曲线。如：点+点=线+线=直线，点+线=线+圆=抛物线*，点+圆=圆+圆=双曲线*。它们的组合一般就会有三族曲线，而这些曲线的交点便为最终所求圆心。

下面是一些彩蛋（包括一些优秀的作法、变式、参考资料等）。

1、PCC点在圆上作一解的较简方法：

2、PLC线过圆内点和圆心时的一种作法：

3、LLC两线不平行时的一种简法（By Ander）：

4、LLC的沢山定理作法：

5、LCC习题1+CCC习题参考答案（Mainly by Ander）：

6、LCC习题2参考答案（By Ander&MT）：

7、Soddy圆的简解（By Ander）

只是一提可能的形式，而且这种题目经常会特殊化，这里一般化的形式不再给出示意图。

1.所求圆圆心在给定线上，且与两个图形相切（或经过点）

将一个图形关于给定线对称，看成第三个给定图形即可。如下例：

又如下例，犹记这一关的L星被破（

2.所求圆圆心在给定圆上，且与两个图形相切（或经过点）

即找某条直线、双曲线或抛物线与圆的交点。轨迹非直线的某些情况稍复杂，先放一种比较简单的：

（一般形式似乎没有什么万能转化方法，还需要再探索一下）

3.给定所求圆半径，找使其与两个图形相切（或经过点）的位置

适当地平移线段、改变圆的半径（点看成半径为0的圆）即可。

《圆之吻-有趣的尺规作图》（莫海亮）

知乎：

/p/666671529、/p/671248198、/question/469732088/answer/1976180463、/question/453657072/answer/1995756848、/p/581193356、/p/558436322

贴吧：

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b站、油管、Euclidea攻略等不列

整篇文章从各处收集了许多有趣的方法，写了挺久。

很多方法为展示其中原理，没有顾及到化简，各位可以自行尝试。

文章还有很多未完成和完善的地方，今后再抽时间补充，也欢迎各位指出不足和有误之处。

先就写到这里吧，祝各位能在几何作图的世界里收获颇丰。

最后更新：2024/1/8

Updated: fixed known problems, added some latest developments, adjusted the position of some plates, and supplemented some explanations and references.