【线性代数之二】矩阵与行列式 |
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【线性代数之二】矩阵与行列式
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一、矩阵
1.1 定义
由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m × n矩阵。记作： 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。而行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵 1.2. 基本运算 1.2.1 加减法同位置元对应相加减 只有同型矩阵之间才可以进行加法。 加法： 矩阵的加法满足下列运算律(A，B，C都是同型矩阵)： A + B = B + A 和 (A + B) + C = A + (B + C) 1.2.2 数乘矩阵的数乘满足一下规律： 两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和另一个矩阵B的行数相等时才能定义。如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵，它们的乘积C是一个m×p矩阵 ，它的一个元素： 把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵，这一过程称为矩阵的转置。 转置矩阵记为： 矩阵的共轭定义为: 矩阵的共轭转置定义为： 一个n×n的正方矩阵A的行列式记为 或者 ,一个2×2矩阵的行列式可表示如下 : n×n的方块矩阵A的一个特征值和对应特征向量是满足 的标量以及非零向量 。其中v为特征向量， 为特征值。 A的所有特征值的全体，叫做A的谱 ，记为 。矩阵的特征值和特征向量可以揭示线性变换的深层特性 四、矩阵与行列式的区别：矩阵与行列式的区别有四点 本质上，矩阵是一个数表，行列式是一个数值，n阶的方阵。数字符号上，矩阵是用括号表示的，行列式是用双竖线表示的。结构上，矩阵的行数和列数可以不一样，行列式的行数与列数一致。运算上，一个数乘以行列式，只能乘以行列式的一行或者一列。一个数乘以矩阵，矩阵的每个元素都要乘上这个数。两个矩阵相等是指对应元素都相等；两个行列式相等不要求对应元素都相等，甚至阶数也可以不一样，只要运算代数和的结果一样就行了。行列式相等，就是值相等，行和列数目不必相等，数据也不必相等。矩阵相等，行和列数目必须相等，对应位置的数据也必须相等。行列式相加减，就是两个数值相加减，结果还是数值。矩阵相加减，对应位置的数据相加减。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中，行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。 相关矩阵内容选自：百度百科矩阵 |
这m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元，以数 aij为(i,j)元的矩阵可记为(aij)或(aij)m × n，m×n矩阵A也记作Amn。
减法： 
实例： 
矩阵的加减法和矩阵的数乘合称矩阵的线性运算 
并将此乘积记为: C = AB 例如： 
矩阵的乘法满足以下运算律： 结合律： (AB)C = A(BC) 左分配律： (A + B)C = AC + BC 右分配律： C(A + B) = CA + CB 矩阵乘法不满足交换律。 
转置过程： 
矩阵的转置满足以下运算律： 
一个2×2复数矩阵的共轭（实部不变，虚部取负）如下所示： 
则： 
，也可以写为：
，或者写为
一个2×2复数矩阵的共轭转置如下所示： 
则： 
一个n×n矩阵的行列式等于其任意行（或列）的元素与对应的代数余子式乘积之和，即： 
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