因为矩阵的行列式等于所有特征值的乘积，而矩阵可逆的充要条件是行列式不等于0，所以矩阵可逆的充要条件是所有特征值都不等于0。

设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是矩阵A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。

扩展资料

矩阵可逆的充分必要条件：

AB=E；

A为满秩矩阵（即r(A)=n）；

A的特征值全不为0；

A的行列式|A|≠0，也可雹羡枝表述为A不是奇异矩阵（即行列式为0的矩阵）；源敏

A等价于n阶单位矩阵；

A可表示成初等矩阵的乘积；

齐次线性方程组AX=0 仅有零解；

非齐次线性方程组AX=b 有唯一解；派搭

A的行（列）向量组线性无关；

任一n维向量可由A的行（列）向量组线性表示。

其实以上条件全部是等价的。

参考资料来源：百度百科-矩阵特征值

参考资料来源：百度百科-矩阵可逆