相关函数 与 卷积 在 数学上是有关系的 , 但是其物理意义不同 ;

可以使用 " 快速计算卷积 " 的方法 , 计算相关函数 ;

对于 线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 来说 ,

假设 x ( n ) x(n) x(n) 是 LTI 系统的 " 输入序列 " , y ( n ) y(n) y(n) 是 " 输出序列 " ,

则有 :

y ( n ) = ∑ m = − ∞ + ∞ x ( m ) h ( n − m ) = x ( n ) ∗ h ( n ) y(n) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) h(n-m) = x(n) * h(n) y(n)=m=−∞∑+∞​x(m)h(n−m)=x(n)∗h(n)

线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 的

" 输出序列 "

等于

" 输入序列 " 与 " 系统单位脉冲响应 " 的 线性卷积 ;

卷积公式如下 :

y ( n ) = x ( n ) ∗ h ( n ) = ∑ m = − ∞ + ∞ x ( m ) h ( n − m ) y(n) = x(n) * h(n) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) h(n-m) y(n)=x(n)∗h(n)=m=−∞∑+∞​x(m)h(n−m)

卷积具有交换律 :

y ( n ) = x ( n ) ∗ h ( n ) = h ( n ) ∗ x ( n ) = ∑ m = − ∞ + ∞ h ( m ) x ( n − m ) y(n) = x(n) * h(n) = h(n) * x(n) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} h(m) x(n-m) y(n)=x(n)∗h(n)=h(n)∗x(n)=m=−∞∑+∞​h(m)x(n−m)

互相关函数 表示的是 两个不同的信号 之间的相关性 ;

x ( n ) x(n) x(n) 与 y ( n ) y(n) y(n) 的 " 互相关函数 " 如下 ,

r x y ( m ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ∗ ( n ) y ( n + m ) r_{xy}(m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) y(n + m) rxy​(m)=n=−∞∑+∞​x∗(n)y(n+m)

其中 y ( n ) y(n) y(n) 进行了移位 , 向左移动了 m m m 单位 ,

该 " 互相关函数 " 求的是 y ( n ) y(n) y(n) 移位 m m m 后的序列 与 x ( n ) x(n) x(n) 序列之间的关系 ;

注意这里的 n n n 表示的是时刻 , m m m 表示的是信号移动的间隔 ;

该 " 互相关函数 " 表示的是 x ( n ) x(n) x(n) 信号 , 与 隔了 m m m 时间后的 y ( n ) y(n) y(n) 信号之间的关系 ;

这 2 2 2 个信号 ( 序列 ) 之间 " 关系 " 是一个 函数 , 函数的自变量是 m m m 间隔 , 不是 n n n ;

自相关函数 ( Autocorrelation Function ) :

r x x ( m ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ∗ ( n ) x ( n + m ) = r x ( m ) r_{xx}(m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) x(n + m) = r_x(m) rxx​(m)=n=−∞∑+∞​x∗(n)x(n+m)=rx​(m)

" 自相关函数 " 是 " 自己信号 " 与 " 隔一段时间后的 自己信号 " 之间的 相关性 ;

如果 m = 0 m = 0 m=0 时 , " 自己信号 " 与 " 隔一段时间 m m m 后的自己信号 " 完全相等 , 该值就是 信号的能量 ;

r x ( 0 ) = ∑ n = − ∞ + ∞ ∣ x ( n ) ∣ 2 = E r_{x}(0) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |x(n)|^2= E rx​(0)=n=−∞∑+∞​∣x(n)∣2=E

卷积可以写为 :

g ( n ) = x ( n ) ∗ y ( n ) = ∑ m = − ∞ + ∞ x ( m ) y ( n − m ) g(n) = x(n) * y(n)= \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) y(n-m) g(n)=x(n)∗y(n)=m=−∞∑+∞​x(m)y(n−m)

相关函数 :

r x y ( m ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ∗ ( n ) y ( n + m ) r_{xy}(m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) y(n + m) rxy​(m)=n=−∞∑+∞​x∗(n)y(n+m)

相关函数 与 卷积对比 :

x ( − m ) x(-m) x(−m) 的共轭 与 y ( m ) y(m) y(m) 的 卷积 计算 :

x ∗ ( − m ) ∗ y ( m ) = ∑ m = − ∞ + ∞ x ∗ ( − n ) y ( m − n ) x^*(-m) * y(m) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x^*(-n) y(m-n) x∗(−m)∗y(m)=m=−∞∑+∞​x∗(−n)y(m−n)

令 − n = n ′ -n = n' −n=n′ , n n n 的范围还是 − ∞ -\infty −∞ ~ + ∞ +\infty +∞ ,

使用 n = − n ′ n = -n' n=−n′ 替换 n n n , 带入到上面的卷积式子中 ,

x ∗ ( − m ) ∗ y ( m ) = ∑ m = − ∞ + ∞ x ∗ ( − ( − n ′ ) ) y ( m − ( − n ′ ) ) x^*(-m) * y(m) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x^*(- (-n')) y(m-(-n')) x∗(−m)∗y(m)=m=−∞∑+∞​x∗(−(−n′))y(m−(−n′))

x ∗ ( − m ) ∗ y ( m ) = ∑ m = − ∞ + ∞ x ∗ ( n ′ ) y ( m + n ′ ) = r x y ( m ) x^*(-m) * y(m) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x^*(n') y(m + n') = r_{xy}(m) x∗(−m)∗y(m)=m=−∞∑+∞​x∗(n′)y(m+n′)=rxy​(m)

最终计算出来的结果就是 r x y ( m ) r_{xy}(m) rxy​(m) 互相关函数 ;

使用 卷积 计算 互相关函数 :

r x y ( m ) = x ∗ ( − m ) ∗ y ( m ) r_{xy}(m) = x^*(-m) * y(m) rxy​(m)=x∗(−m)∗y(m)

使用 卷积 计算 自相关函数 :

r x ( m ) = x ∗ ( − m ) ∗ x ( m ) r_{x}(m) = x^*(-m) * x(m) rx​(m)=x∗(−m)∗x(m)