1.点乘的几何意义 [a, b, c][d, e, f] = ad + be + cf 结果是一个标量，也可以写为 a * b = |a||b|cosθ 以下说明点乘的几何意义，就是一个向量在另一个单位向量（如果另一个向量是单位向量）上的投影长度。 a * b / |b| = |a|cosθ a * b /|a| = |b|cosθ

2.叉乘的几何意义 [a, b, c]×[d,e,f] = [bf - ec, dc - af, ae - db] 结果是一个矢量。也可以写为 |a×b| = |a||b|sinθ *****画图可得叉乘的模得到的是向量ab组成的平行四边形的面积。 *****如果不求模a×b得到的矢量，就是同时垂直于向量a b的一个矢量。可想而知这样的矢量是有正反方向的，而这个垂直矢量的正反方向由叉乘顺序决定，这样叉乘就不符合交换律，实际上符合负交换律，即顺序一换正负号就换了，但是绝对值不变。 *****叉乘的结果是怎么得到的呢？实际上就是行列式的按行或者列展开得到的，如图 叉乘就是3阶行列式的按行展开（或者说按列展开也行）求行列式值的过程中，产生的两个向量中的一个。这两个向量一个是按行展开的那个行，一个是代数余子式组成的向量。叉乘明显结果就是那个代数余子式组成的向量。那么行列式求值的意义是什么，这个代数余子式组成的向量的意义又是什么？

3.代数余子式的几何意义 *****其实应该说是代数余子式组成的向量的几何意义。以下只是应用理解，并不是严格证明。 *****这里的几何意义可以由叉乘的意义推出。我们知道叉乘的结果就是3阶行列式按行或者列展开求值的其中代数余子式组成的向量。既然两者一样，那意义应该也是相同的。叉乘的意义是什么？a x b 结果，方向是垂直于向量ab，模是向量ab组成的平行四边形的面积。 *****先说一下行列式的几何意义。行列式的值实际上就是行列式的行向量或者列向量组成的几何体的体积。如果是2阶行列式就是面积，3阶就是体积，四阶就是四维体积以此类推。 *****那按行或者列展开求行列式的值是怎么求的呢？是展开行或者列组成的向量点乘代数余子式组成的向量。之前提的点乘的几何意义是什么？|a|*|b|*cosθ。以三阶行列式为例。底是除展开行剩下的两个向量组成的四边形。而代数余子式组成的向量，方向是垂直于这个四边形，模是这个四边形的面积。展开行点乘这个代数余子式组成的向量就是在这个四边形的垂直方向上投影。那按行或者列展开求3阶行列式的值，意义就很明显了。就是底乘高求体积。底是四边形，他的面积就是代数余子式组成的向量的模，高是展开行或者列在四边形垂直向量上的投影长度。 4.总结 ****点乘是求一个向量在另一个方向向量上的投影长度。当然这个“另一个方向向量”必须是单位向量。如果不是最好把他化为（单位向量长度）更好理解。ab 就是a在b上的投影长度 * b的长度。这在几何意义上实际上是把两步归为一步了，不太好理解。比如上面所讲3阶按行展开求行列式。a可以看为展开行，b可以看为代数余子式组成的向量。如果我们把他分为两步看，b化为（单位向量 * b的模）。 那a * b的单位向量就是求高，b的模就是底面积。底乘高求体积很好理解吧。实际上如果把b的模当做长度来开的话是没有道理的，长度长度几何意义是什么？所以b的模可以看做底面积。当然最好还是分两步看。

*******叉乘的方向是三阶行列式底的垂直方向，或者说同时垂直于ab的方向。叉乘的模是三阶行列式的底面积，或者说向量ab组成的平行四边形的面积。建议把叉乘放入3阶行列式看。叉乘必须是3阶行列式，也就是ab必须是3维数。 *******代数余子式组成的向量，方向就是行列式底的垂直方向，模就是底的面积。也可以推到n阶。从另一方面看，代数余子式组成的向量就是叉乘的推广，可以不在局限于3阶。