先看看二者定义，给定两个n维向量A,B:

A = ( a 1 , a 2 , … , a n ) A = (a_1, a_2, \ldots ,a_n) A=(a1​,a2​,…,an​) B = ( b 1 , b 2 , … , b n ) B = (b_1, b_2, \ldots ,b_n) B=(b1​,b2​,…,bn​)

余弦相似度: c o s ( θ ) = A ⋅ B ∥ A ∥ ⋅ ∥ B ∥ = ∑ i = 1 n a i × b i ∑ i = 1 n a i 2 × ∑ i = 1 n b i 2 cos(\theta) = {A \cdot B \over \Vert A \Vert \cdot \Vert B \Vert } = \frac{ \sum_{i=1}^n a_i \times b_i }{ \sqrt {\sum_{i=1}^n a_i^2} \times \sqrt {\sum_{i=1}^n b_i^2}} cos(θ)=∥A∥⋅∥B∥A⋅B​=∑i=1n​ai2​ ​×∑i=1n​bi2​ ​∑i=1n​ai​×bi​​

皮尔逊相关系数: p e a r s o n _ r = ∑ i = 1 n ( a i − a ˉ ) × ( b i − b ˉ ) ∑ i = 1 n ( a i − a ˉ ) 2 × ∑ i = 1 n ( b i − b ˉ ) 2 pearson\_r = \frac{ \sum_{i=1}^n (a_i - \bar a ) \times (b_i - \bar b) }{ \sqrt {\sum_{i=1}^n (a_i - \bar a )^2} \times \sqrt {\sum_{i=1}^n (b_i - \bar b)^2}} pearson_r=∑i=1n​(ai​−aˉ)2 ​×∑i=1n​(bi​−bˉ)2 ​∑i=1n​(ai​−aˉ)×(bi​−bˉ)​

其中: a ˉ = 1 n ∑ i = 1 n a i , b ˉ = 1 n ∑ i = 1 n b i \bar a = {1 \over n} \sum_{i=1}^n a_i, \bar b = {1 \over n} \sum_{i=1}^n b_i aˉ=n1​i=1∑n​ai​,bˉ=n1​i=1∑n​bi​

两式对比，可见皮尔逊相关系数的计算是先对向量每一分量减去分量均值，再求余弦相似度。这一操作称为中心化(将特征向量X根据 x ˉ \bar x xˉ 移动)。

这么做有什么好处呢？比如小明和小刚爱看电影，他们都看过《夏洛特烦恼》、《羞羞的铁拳》和《西虹市首富》，两个人也都在豆瓣上给这几部电影打了分，分值如下表:

如果豆瓣的程序员小哥哥想评判小明和小刚的兴趣是否相似(以此来给他们推荐类似的电影或投放相同广告)，先初始化两个特征向量:

试下余弦相似度:

两个人的余弦相似度是0.9760924，还不错，再试试皮尔逊相关系数:

效果更好！

余弦相似度除了可以比较样本间相似度，也可用于判断特征的重要性，网上比较多的例子即是评判sklearn库的iris(鸢尾花)数据集特征，在此一起总结下。

加载数据集:

看数据前10行，每行包含鸢尾花的4个特征(花萼、花瓣的长宽):

看看label前10行，都是1个品种:

每个样本有4维特征，通过计算各特征与label的皮尔逊相关系数，即可得到各特征的重要性，所以需要依次取出iris.data的每一列特征，怎么取呢？sklearn.datasets中的数据集已经帮我们处理好了。iris是sklearn.utils.Bunch类的实例，其中iris.data.T就是iris.data的转置，看看其前10行(由于样本过多，这里只显示10个):

下面就可以计算特征重要性了:

不过要注意的是，皮尔逊相关系数只对线性相关有效，并不是所有衡量特征重要性都可以这么用，需要因地制宜。